1) Seja V um espaço vetorial sobre R e suponha {v1,.....vn} contido em V é l. i. Se v=a1v1+....+anvn. a1,....,an pertence a R então {v-v1, v-v2,...v-vn} é l. i. se , e somente se, a1+a2+....an é diferente de 1.
Faz tempo que não mexo com álgebra linear, mas vamos lá:
(v-v1, v-v2, ..., v-vn) é l.i. se, se somente se,
det | a1-1 a2 a3 ... an | = 0 | a1 a2-1 a3 ... an | | a1 a2 a3-1 ... an | | ... ... ... ... ... | | a1 a2 a3 ... an-1 |
Subtraindo a primeira linha das demais:
det | a1-1 a2 a3 ... an | = 0 | 1 -1 0 ... 0 | | 1 0 -1 ... 0 | | ... ... ... ... ... | | 1 0 0 ... -1 |
Somando cada coluna com a primeira:
det | k a2 a3 ... an | = 0 | 0 -1 0 ... 0 | | 0 0 -1 ... 0 | | ... ... ... ... ... | | 0 0 0 ... -1 |
onde k = a1+a2+a3+...+an-1
Agora eu reduzo o grau da matriz pela coluna 1:
k.det | -1 0 0 ... 0 | =0 | 0 -1 0 ... 0 | | 0 0 -1 ... 0 | | .............. | | 0 0 0 ... -1 |
(as outras matrizes são multiplicadas por zero, então nem as descrevi).
A matriz que sobrou é diagonal, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal: (-1)^(n -1).
Logo a equação final reduz-se a:
k. (-1)^(n-1)=0
k=0 (o sinal é irrelevante)
a1+a2+a3+...+an-1=0
a1+a2+a3+...+an=1 QED
---------------------------------------------------------------- Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" ------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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