[EMAIL PROTECTED] wrote:

1) Seja V um espaço vetorial sobre R e suponha {v1,.....vn} contido em V
é l. i. Se v=a1v1+....+anvn. a1,....,an pertence a R então {v-v1, v-v2,...v-vn}
é l. i. se , e somente se, a1+a2+....an é diferente de 1.

Faz tempo que não mexo com álgebra linear, mas vamos lá:


(v-v1, v-v2, ..., v-vn) é l.i. se, se somente se,

        det | a1-1  a2   a3  ...  an  | = 0
            |  a1  a2-1  a3  ...  an  |
            |  a1  a2   a3-1 ...  an  |
            | ...  ...  ...  ... ...  |
            |  a1   a2   a3  ... an-1 |

Subtraindo a primeira linha das demais:

        det | a1-1  a2   a3  ...  an  | = 0
            |  1    -1   0   ...   0  |
            |  1    0   -1   ...   0  |
            | ...  ...  ...  ... ...  |
            |  1    0    0   ...   -1 |

Somando cada coluna com a primeira:

        det |  k   a2    a3  ...  an  | = 0
            |  0    -1   0   ...   0  |
            |  0    0   -1   ...   0  |
            | ...  ...  ...  ... ...  |
            |  0    0    0   ...   -1 |

onde k = a1+a2+a3+...+an-1

Agora eu reduzo o grau da matriz pela coluna 1:

        k.det | -1 0  0  ... 0  | =0
              | 0  -1 0  ... 0  |
              | 0  0  -1 ... 0  |
              | ..............  |
              | 0  0  0 ...  -1 |

        (as outras matrizes são multiplicadas por zero, então
nem as descrevi).

        A matriz que sobrou é diagonal, seu determinante
é o produto dos elementos da diagonal: (-1)^(n -1).

Logo a equação final reduz-se a:

k. (-1)^(n-1)=0

k=0 (o sinal é irrelevante)

a1+a2+a3+...+an-1=0

a1+a2+a3+...+an=1 QED

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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