Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo:
-Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos de C é sempre maior que a cardinalidade de C.
PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.
Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P.
Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C, logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está associado a nenhum elemento de C. Absurdo!
Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de P é maior que a de C.
CQD.
-A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de que M pertencesse a P antes de começar a construir M?
Perdão, não entendi a sua dúvida.
M é subconjunto de C
P é o conjunto de todos os subconjuntos de C
Entao M pertence a P (e é por isso que faz sentido olhar para M como imagem pela suposta bijecao de algum elemento y de C)
Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor: "The Art of Infinity"
André T.
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