On Thu, Jan 22, 2004 at 07:41:00PM -0200, Andr� Martin Timpanaro wrote:
> Se n � um n�mero impar e a � um real qualquer, quando a equa��o abaixo pode
> ser resolvida por radicais?
> x^n + a(x+1)=0
> Se for poss�vel, quais s�o as ra�zes reais dessa equa��o?
N�o entendi pq n �mpar; talvez para garantir que existe raiz real,
mas isto n�o tem muito a ver, tem?
Isto � um problema de teoria de Galois e n�o sei se entendi bem a pergunta.
Acho que voc� quer a resposta em fun��o de n e n�o em fun��o de n e a, certo?
Ou seja, voc� quer saber para quais valores de n existe uma f�rmula com
radicais que d� a raiz em termos de a. � isso?
Se for isso voc� quer saber para que valores de n o grupo de Galois
de x^n + a*x + a � sol�vel, onde os coeficientes est�o no corpo Q(a),
sendo a um transcendente que pode igualmente bem ser tratado como
outra viari�vel desde que entendamos que o grupo � em rela��o � vari�vel x.
Eu *acho* que este grupo de Galois � sempre o grupo sim�trico S_n.
Eu sei que o grupo de Galois de x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0
� S_n (onde a_{n-1}, ..., a_0 s�o algebricamente independentes,
ou, se voc� preferir, s�o outras vari�veis).
O grupo de Galois de um polin�mio de grau n "em geral" � S_n
e acho que este polin�mio � bem "geral" (as aspas marcam que isto
n�o � uma afirma��o das mais precisas).
Eu verifiquei no maple para n <= 9 e deu certo
(isto �, para n <= 9 o grupo � mesmo S_n).
Se isto estiver certo a resposta � que a equa��o pode ser resolvida
por radicais apenas para n <= 4.
[]s, N.
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
