on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3. Mostre que se o centro de > G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p. > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 2,1012,201003 > Soh pra dar uma variada e tambem porque sao raros os problemas de algebra nessa lista, vou tentar resolver o problema acima.
Sejam: Z = centro de G = { x em G | yx = xy, para todo y em G}; Cl(a) = classe de conjugacao de a = { x*a*x^(-1) | x pertence a G}; C(a) = centralizador de a = { x em G | ax = xa }. Como conjugacao eh uma relacao de equivalencia em G cujas classes de equivalencia sao justamente as classes de conjugacao de G, G pode ser particionado da seguinte forma: G = Cl(a_1) U Cl(a_2) U ... U Cl(a_r), onde se i <> j entao a_i nao eh conjugado de a_j. As classes de conjugacao relativas aos elementos de Z sao conjuntos unitarios, pois se a pertence a Z, entao x*a*x^(-1) = a*x*x^(-1) = a, ou seja, se a pertence a Z, entao Cl(a) = {a}. Dessa forma, podemos escrever |G| = |Z| + |Cl(a_1)| + ... + |Cl(a_r)|, onde os a_i sao elementos de G - Z e tais que a_i nao eh conjugado de a_j se i <> j. Essa eh a chamada Equacao das Classes relativa ao grupo G. Eh claro que |Cl(a_i)| > 1, para todo i, caso contrario a_i pertenceria a Z. Um outro fato relevante eh que existe uma bijecao F entre o conjunto das classes laterais ("cosets") relativas a C(a) e Cl(a), dada por: F(x*C(a)) = x*a*x^(-1). x*C(a) = y*C(a) <==> y^(-1)*x pertence a C(a) <==> y^(-1)*x*a = a*y^(-1)*x <==> x*a*x^(-1) = y*a*y^(-1) <==> F(x*C(a)) = F(y*C(a)) ==> F estah bem definida e eh injetiva. Alem disso, como x eh um elemento arbitrario de G, concluimos que F eh sobrejetiva. Isso quer dizer que |Cl(a)| = numero de classes laterais relativas a C(a) = |G|/|C(a)|, pelo teorema de Lagrange. Alem disso, se |G| = p^n, entao |C(a)| = p^k para algum k com 1 <= k <= n, ou seja, |Cl(a)| = p^(n-k). Repare que k >= 1 pois C(e) = G e se a <> e, e e a pertencem a C(a) (e = identidade em G) Da equacao das classes e levando em conta que |G| = p^n e |Z| = p, teremos: p^n = p + p^(n-k_1) + ... + p^(n-k_r) ==> p^(n-1) = 1 + p^(n-1-k_1) + ...+ p^(n-1-k_r) ==> p^(n-1) = 1 + p^m_1 + ... + p^m_r (fazendo m_i = n - 1 - k_i) (***) Suponhamos que m_i >= 2, para todo i. Como n >= 3, podemos re-escrever (***) da seguinte forma: 1 = p^2*(p^(n-3) + p^(m_1-2) + ... + p^(m_r-2)). Como a soma entre parenteses eh inteira, concluimos que p^2 divide 1 ==> contradicao ==> m_i = 1 para algum i ==> |Cl(a_i)| = p Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================