Re: [obm-l] Problema para Artur

[Bruno Lima]

Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de 2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans ou algebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia. 

Cl�udio_(Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Oi, Bruno:

 

Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b s�o alg�bricos, com a <> 0, a <> 1 e b irracional, ent�o a^b � transcendente. Uma demonstra��o disso est� contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior.

 

Por outro lado, n�o conhe�o nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b s�o transcendentes (o que n�o quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Voc� conhece algum?).

 

Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente.

Considere a parti��o do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos alg�bricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo.

Seja F: [1,+inf) --> [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F � claramente uma bije��o.

Como A � enumer�vel, F(A) � enumer�vel.

Se F(T) s� cont�m n�meros alg�bricos, ent�o F(T) tamb�m � enumer�vel.

Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) � enumer�vel ==>

contradi��o ==>

F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade n�o-enumer�vel deles).

 

A quest�o que permanece �: existe algum transcendente x tal que x^x � alg�brico?

 

O caso x = raiz(2) n�o parece ajudar muito, pois raiz(2) � alg�brico.

De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) � transcendente.

 

Um abra�o,

Claudio.

----- Original Message -----

From: Bruno Lima

To: OBM lISTA

Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM

Subject: [obm-l] Problema para Artur

Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma  questao interessante � a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x � algebrico ou transcendente??

pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.

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