SO PARA ESCREVER MESMO...Achei esse problema superdivertido!!!!!!E bem legal usar polinomios para determinar irracionais e coisas do genero... Agora, para aproveitar o pique, duas perguntas, uma delas eu sei a resposta, a segunda nao: 1)k^1!+k^2!+k^3!+k^4!+... com 2*k=1 e transcedente; 2)log k/log 10 ou e racional ou e transcedente; 3)Onde acho a demonstra�ao de que a^b e transcedente se a e algebrico e b e um algebrico nao-inteiro?
Para a primeira questao tenho um a solu�ao bem legal...Depois eu envio --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Thu, Jan 29, 2004 at 11:09:05PM -0200, > Marcio Afonso A. Cohen wrote: > > Bom gente, eu mandei esse problema pra lista, > acompanhei os emails do > > Arthur, do Cl�udio e do Nicolau sobre ele, > inclusive chegando a solucao > > final. Legal. Segue abaixo uma outra solucao, > bastante interessante, > > para o problema. (o fan�tico por polinomios > de chebyshev da lista vai > > adorar :) ). > > Antes de mais nada eu queria pedir desculpas > por estar respondendo com > tanta demora. > > A solu��o que o Marcio apresenta abaixo � bem > legal. Ela at� prova mais > do que ele afirma, ela no fundo prova que se > cos(p Pi/q) � inteiro alg�brico > ent�o cos(p Pi/q) = 0 ou +-1, ou seja, prova > exatamente a mesma coisa > que eu demonstrei nesta lista h� aprox um m�s, > mas de forma mais simples. > Por outro lado, ela tem uma pequena falha; > irrelevante para a solu��o, > mas ainda assim uma afirma��o errada. Vou > primeiro apontar e corrigir > o erro e depois apresentar a prova da afirma��o > mais geral. > > > A ideia eh que se x = arccos((raiz(5)-1)/2) > fosse multiplo racional de > > Pi, entao haveria um inteiro n tal que > cos(nx) = 0, e portanto cos(x) > > seria raiz de uma equacao de coeficientes > inteiros t^n + ...t^n-1 +... = > > 0 (polinomio de chebyshev). > > O erro est� aqui: o polin�mio de Chebyshev n�o > � m�nico, ou seja, > o coeficiente l�der n�o � 1. Claro que numa > equa��o voc� sempre pode > dividir tudo pelo coeficiente l�der mas a� os > coeficientes deixam > de ser inteiros. > > > Mas por um lado todas as raizes desse > > polinomio estao em [-1,1] (afinal, temos > cos(nx) = t^n + ... e isso vale > > zero para nx(k) = pi/2 + kpi, k = 0, 1, 2, 3, > ..., n-1, o que ja lista > > todas as raizes do polinomio como sendo cos > x(k) para algum k), e por > > outro lado o conjugado de cosx, (raiz(5)+1)/2 > > 1 tambem deveria ser raiz > > dela... Legal n�? > > De certa forma esta solu��o aponta tanto para o > pr�prio erro quanto > para a prova da afirma��o mais geral: se todos > os conjugados > de um n�mero alg�brico est�o no intervalo > (-1,1), � bem �bvio que > o produto de todos os conjugados tamb�m vai > estar no intervalo (-1,1). > Mas o produto de todos os conjugados de um > n�mero alg�brico z � +-a0/an, > onde an x^n + ... + a1 x + a0 � o polin�mio de > coeficientes inteiros > de grau m�nimo que tem raiz z. Assim |a0| < > |an| e � portanto bem claro > que |an| > 1, ou seja, que z n�o � um inteiro > alg�brico. > > Eu s� n�o entendi pq o Marcio disso que "o > fan�tico por polinomios de > Chebyshev da lista vai adorar": o legal desta > solu��o � justamente que, > ao contr�rio da minha, n�o precisamos usar > *nada* de polin�mios de Chebyshev! > > > []s, N. > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ______________________________________________________________________ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
