On Wed, Mar 10, 2004 at 07:11:45PM -0300, claudio.buffara wrote: > Oi, pessoal: > > Estou com uma duvida meio ampla sobre matrizes que comutam. > > Seja A uma matriz nxn inversivel com coeficientes num dado corpo F. > O conjunto de tais matrizes forma um grupo não-abeliano GL(n,F) com relação > ao produto de matrizes. O que podemos dizer em geral sobre o tamanho e a > estrutura de C(A), o centralizador de A = subgrupo das matrizes de GL(n,F) > que comutam com A? > > Por exemplo, num problema da obm-u de 2003, o grupo era GL(4,Z_p) e as > matrizes satisfaziam a A^2 = I ==> um caso extremamente particular, mas que > deu origem à minha dúvida. > > Será que fica mais fácil trabalhar com a totalidade das matrizes nxn e não > apenas as inversíveis e, nesse caso, tentar analisar o subespaco das matrizes > que comutam com uma dada matriz A? > > Nesse caso eu tenho uma conjectura (mas com baixíssima convicção): se os > autovalores de A são distintos, então as matrizes que comutam com A são > justamente os polinômios em A e a dimensão do subespaço dessas matrizes é n.
De certa forma sim, é melhor olhar para o anel de todas as matrizes nxn em vez do grupo. A sua conjectura é verdadeira: se uma matriz tem todos os autovalores distintos então ela é diagonalizável (em algum corpo) e as únicas matrizes que comutam com uma matriz diagonal com entradas diagonais distintas são outras matrizes diagonais. Ora, qualquer matriz diagonal é um polinômio de uma matriz diagonal com entradas distintas. Assim, desfazendo a conjugação, se B comuta com A então B = p(A). Na verdade a conclusão vale com uma hipótese um pouco mais fraca: se o polinômio característico de A é igual ao polinômio mínimo então as matrizes que comutam com A são exatamente os polinômios em A: a demonstração é basicamente a mesma, usando Jordan. Nos casos acima, o conjunto das matrizes que comutam com A e o subanel gerado por A coincidem, e ambos têm dimensão n (como espaço vetorial). Se os polinômios mínimo e característico forem diferentes, então a dimensão do subanel gerado por A é m < n, o grau do polinômio mínimo. Eu não tenho certeza se existe uma fórmula interessante relacionando m, n e l, a dimensão do subanel das matrizes que comutam com A: acho que não, mas certamente temos l > n. Você começou com a pergunta em GL, ou seja, você quer olhar para a interseção entre o subanel acima com GL. Eu faço a seguinte observação, que fica como problema. Suponha que o polinômio característico de A seja irredutível no corpo no qual estamos trabalhando e seja p um polinômio não nulo de grau menor do que n: então p(A) é inversível. Assim, se o corpo tem q elementos então este grupo tem q^n - 1 elementos. Segundo problema: prove que este grupo é cíclico. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================