Pessoal, gostaria da ajuda de voces para saber se eu estou pensando corretamente.

Seja a funcao f(x) = 2x - cos(x) que possui uma raiz x' em I = [0, pi/2]
é pedido para provar que para *qualquer* x[0] em I, a sequencia
x[i] = phi(x[i-1]) = cos(x[i-1])/2 , i >= 1 converge para x'.

Bom pessoal no item anterior, eu provei que o processo iterativo
x[0] = 0, x[i] = phi(x[i-1]) = cos(x[i-1])/2 , i >= 1 convergia para x' (Eu prove isto mostrando que x' é ponto fixo de phi, que phi e phi' sao continuas em I, que o modulo da derivada de phi é menor que 1 e que se x[0] esta em I entao x[i] tb esta para qualquer i >=1)


Eu vi que para x[0] = 0, o processo convergia pois 0 é o extremo de I mais proximo da raiz (tomei o ponto medio de I...e etc) Então para provar que para qualquer x[0] em I a sequencia converge, não basta eu mostrar que para x[0] = pi/2 a sequencia tambem converge? Se for isso é facil pq phi(pi/2) = 0, assim x[1] = 0 e como eu ja vi que para x[0] = 0 a sequencia convege, obviamente para x[1] = 0 ela tambem convergeria.
Isso esta certo?


Outra pergunta, de modo geral, dado que x[i] = phi(x[i-1]) = uma funcao qualquer com i >= 1, existe algum bom caminho para ver se existe um x[0] em I tal que sequencia convirja para x'?

Obrigado a todos!

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Joseph Louis LaGrange

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