On Wed, Mar 24, 2004 at 12:30:01PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Oi, pessoal: > > Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A > (2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel? > > A eh tal que: > A(i,i) = 1 > A(i,i+1) = -1 > A(i,i+2) = 1 > para 1 <= i <= 2005 (mod 2005) > e > A(i,j) = 0 em todos os outros casos. > > OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh: > 1 -1 > 0 1
Acho que ou eu não entendi o enunciado ou a obs está errada. Pelo que entendi, a matriz seria, trocando N = 2005 por N = 12, igual a (1 = +, -1 = -, 0 = .): +-+......... .+-+........ ..+-+....... ...+-+...... ....+-+..... .....+-+.... ......+-+... .......+-+.. ........+-+. .........+-+ +.........+- -+.........+ Então aquele bloquinho seria o canto superior direito de A^t. Vamos representar um vetor (a_0,a_1,...,a_{N-1}) por a_0 + a_1 X + ... + a_{N-1} X^{N-1}. Vamos convencionar que X^N = 1, ou seja, vamos trabalhar em Q^2005 = Q[X]/(X^N - 1) = Q + Q[z5] + Q[z401] + Q[z2005] onde zk = exp(2 pi i/k). A matriz A equivale a multiplicar por 1 - X^{-1} + X^{-2} = X^{-2} (X - w) (X - w') onde w = z6 e w' = z6^(-1) são raízes primitivas de ordem 6 da unidade. Ora, como 6 e N = 2005 são primos entre si segue que X - w e X - w' são inversíveis em (Q[X]/(X^N - 1))[w] (pois são inversíveis em Q[w], Q[z5][w], Q[z401][w], Q[z2005][w]). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================