Ontem vi a demonstracao de um resultado que eu nao conhecia: uma genaralizacao do criterio de Eisenstein para polinomios irredutiveis. O enunciado eh o seguinte:
Seja f(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n um polinomio em Z[x]. Suponhamos que exista um primo p tal que: a) p divide a_0, a_1, ..., a_(n-1); b) p nao divide a_n; c) existe um inteiro positivo r tal que p^r divide a_0 mas p^(r+1) nao divide a_0. Entao, f(x) tem no maximo r fatores irredutiveis em Q[x]. Demonstracao: Considerando o polinomio f(x) modulo p, teremos que: f(x) == a_0*x^n (mod p). Como p nao divide a_0, existirah um inteiro b tal que b*a_0 == 1 (mod p). Logo, podemos escrever: b*f(x) == x^n (mod p). Suponhamos que b*f(x) tenha k fatores irredutiveis em Z[x]: f_1(x), f_2(x), ..., f_k(x). Assim, b*f(x) = f_1(x)*f_2(x)*...*f_k(x) A condicao (c) do enunciado implica que f_i(0) <> 0 para cada i pois, caso contrario, a_0 seria igual a 0 e p^j dividiria a_0 para cada inteiro positivo j. Reduzindo modulo p, teremos: x^n == f_1(x)*f_2(x)*...*f_k(x) (mod p) Isso significa que cada f_i (1 <= i <= k) serah tal que: f_i(x) == x^e(i) (mod p), onde: e(i) >= 1 (1 <= i <= k) e e(1) + e(2) + ... + e(k) = n. Voltando a Z[x], teremos que, para 1 <= i <= k: f_i(x) = x^e(i) + p*x*g_i(x) + p*c_i, onde, para 1 <= i <= k: g_i(x) eh um polinomio nao nulo de grau inferior a e(i) - 1; c_i = f_i(0)/p <> 0. Multiplicando os f_i(x), obteremos: b*f(x) = x^n + p*x*g(x) + p^k*c_1*...*c_k, onde: g(x) = polinomio de grau inferior a n - 1. Isso implica que: b*f(0) = p^k*c_1*...*c_k ==> p^k divide b*f(0) ==> (como b eh primo com p) p^k divide f(0) = a_0 ==> k <= r ==> b*f(x) tem no maximo r fatores irredutiveis em Z[x] ==> (pelo lema de Gauss) f(x) tem no maximo r fatores irredutiveis em Q[x]. ******** Em particular, fazendo r = 2 no teorema acima, obteremos o criterio de Eisenstein tradicional. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
