Nesse problema hah um detalhe que me passou despercebido na primeira leitura. Num eh afirmado que f eh continua em todo o espaco M, mas apenas no ponto a. Mas a conclusao, ainda assim, permanece valida. Consideremos as bolas A1 e A2, jah citadas. Como a unica hipotese eh a continuidade de f apenas em a, naum podemos afirmar que suas imagens inversas sob f sejam abertas. Mas podemos afirmar que existem bolas abertas B1 e B2, centradas em a, tais que f(x) pertence a A1, para x em B1, e f(x) pertence a A2, para x em B2. Tomando-se a bola aberta de centro em a B = B1 inter B2 e prosseguindo-se conforme abaixo, chegamos aa conclusao desejada.
Isto eh consequencia de uma conclusao interessante: f eh continua em um ponto a de M se, e somente se, para toda vizinhanca V de f(a), a for ponto interior de f^(-1)(V). Esta conclusao, assim como a do problema, permanecem validas se M for um espaco topologico qualquer e N for um espaco de Hausdorff. Basta substituir o termo bola aberta por vizinhanca. Artur --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > on 01.04.04 20:24, bruno souza at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Demonstrar > > Sejam M,N espa�os m�tricos, f,g:M-->N cont�nuas no > ponto a pertecente a M. > Se f(a) diferente de g(a), ent�o existe uma bola > aberta B, de centro a, tal > que f(B) e g(B) sejam disjuntos. > > Abra�os > > Bruno > > > Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto > aberto de N por f eh um > conjunto aberto de M. Idem para g. > > Seja d a distancia entre f(a) e g(a). > Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e > g(a), respectivamente, > ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao > conjuntos abertos e > disjuntos. > > Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e > g, respectivamente. > Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 > inter B2. > > Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos > abertos. > Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. > Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a > e contida em B1 inter > B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. > > f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. > Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem > serao. > > []s, > Claudio. > > > > __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
