On Mon, 12 Apr 2004, Artur Costa Steiner wrote: 1) O conj das matrizes nxn com det=1 é fechado pois é imagem inversa de 1 da funcao continua determinante.É ilimitado pois é facil construir matrizes An com detAn=1 e norma(An)=n.
> > --- Carlos bruno Macedo <[EMAIL PROTECTED]> > wrote: > > Gostaria de ajuda nesses dois exercícios > > > > Provar que > > > > 1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1 > > é um fechado ilimitado > > com interior vazio em R^n x n > > > > 2) As matrizes ortogonais n x n formam um > > subcontunto compacto de R^n x n > > > > 2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um > subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for > limitado e fechado (Teorema de Heine Borel). > Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M > pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores > linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra > linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a > raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos, > entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se > automaticamente que O eh limitado. > > Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao > fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes > {N_n} em O que converge para N. A sequencia dos > vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge, > portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna > de N. > A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao > continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma > sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de > {N_n}, temos que ||v_n|| -> ||v||, sendo v o > correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para > todo n, ||v_n|| ->1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha > e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear, > isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. . > Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado. > > Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo > compacto. > Artur > > > > __________________________________ > Do you Yahoo!? > Yahoo! Tax Center - File online by April 15th > http://taxes.yahoo.com/filing.html > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > -- Good bye! Mario Salvatierra Junior Mailing Address: IMECC - UNICAMP Caixa Postal 6065 13083-970 Campinas - SP Brazil ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================