Escrevi a maior bobagem na minha solucao, mas tem conserto. Veja abaixo... > >> 2. Show that there are infinitely many pairs (a,b) of coprime integers >> (which may be negative, but not zero) such that x^2 + ax + b = 0 and >> x^2 + 2ax + b have integral roots. >> >> > E que tal isso aqui? > > Se mdc(a,b) = 1, entao as raizes de cada equacao tem que ser inteiros primos > entre si. Nesse caso, a ideia mais simples que me ocorre eh tentar achar > inteiros m, n, p primos entre si 2 a 2, tais que: > b = mnp; > -a = mn + p; > -2a = m + np. > > Ou seja, m + np = 2(mn + p) ==> > (n - 2)p = (2n - 1)m ==> > p divide 2n - 1 e m divide n - 2. > > Entao, porque nao botar logo p = 2n - 1 e m = n - 2 ? > > Nesse caso, ficaremos com: > Raizes de x^2 + ax + b = 0: n(n-2) e 2n-1 > -a = n(n-2) + (2n-1) = n^2 - 1 > b = n(n-2)(2n-1) > > Raizes de x^2 + 2ax + b = 0: n-2 e n(2n-1) > -2a = n-2 + n(2n-1) = 2n^2 - 2 > b = n(n-2)(2n-1) > > Ou seja, para n > 2, tomamos os pares: > (a,b) = (a_n,b_n) = ( 1 - n^2 , n(n-2)(2n-1) ) > > Como os polinomios a(x) = 1 - x^2 = -(x-1)(x+1) e b(x) = x(x-2)(2x-1) sao > primos entre si, vao existir polinomios r(x) e s(x) com coeficientes inteiros > e tais que: > a(x)*r(x) + b(x)*s(x) = 1
ISSO NAO EH VERDADE EM GERAL: De fato, existem os polinomios r(x) e s(x) mas eles nao tem necessariamente coeficientes inteiros. *** Solucao corrigida: n-1 eh sempre primo com n e com n-2. Alem disso, 1*(2n-1) - 2*(n-1) = 1, o que implica que n-1 tambem eh primo com 2n-1. n+1 eh sempre primo com n, mas nao necessariamente com n-2 ou 2n-1. No entanto, se escolhermos n = 6k, teremos: n+1 = 6k+1, n-2 = 6k-2 e 2n-1 = 12k-1, de modo que: mdc(n+1,n-2) = mdc(n+1,(n+1)-(n-2)) = mdc(n+1,3) = mdc(6k+1,3) = 1 e mdc(n+1,2n-1) = mdc(n+1,2*(n+1) - (2n-1)) = mdc(n+1,3) = 1 Logo, basta escolher a = 1 - n^2 e b = n(n-2)(2n-1), com n = 6k e k >=1. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================