1)Dentre todos os números de 7 dígitos , quantos possuem exatamente 3 dígitos 9 e os 4 dígitos restantes todos diferentes ?
Suas opções de dígitos estão no conjunto I = {0,1,...,8} Escolhendo os 3 lugares para os 9’s , temos C (7,3) . Agora complentando o restante dos dígitos do número com as opções de I ,e sendo o número de opções P, temos : P = 9*8*7*6 Mas espere , devemos retirar os números que começam com ZERO .Com isso I’ = { 1,2,...,8} : Fixando o ZERO no 1° dígito , temos : Escolhendo onde os 9’s ,temos C(6,3) . Complentando o restante dos dígitos do número com opções de I’ ,e sendo o número de opções P’, temos : P’ = 8*7*6 Portanto a resposta R , será: R = [C (7,3) *P] - [C(6,3) *P’] 2)No sistema decimal ,quantos números de 6 dígitos distintos possuem 3 dígitos pares e 3 dígitos ímpares ? Cp = { 0,2,4,6,8} e Ci = { 1,3,5,7,9} Escolhendo os ímpares dentro de Ci e sendo o número de opções O , temos : O = 5*4*3 Escolhendo os lugares onde estes 3 ímpares ficaram , temos : C(6,3) Agrupando os pares nos locais restantes e sendo P o número de opções para se fazer isto , temos : P = 5*4*3 Mas espere , como no exercício 1 , deveremos tirar os casos em que o ZERO esta no primeiro dígito : Fixando o ZERO no 1° dígito : Escolhendo os ímpares dentro de Ci e sendo o número de opções O’ , temos: O’ = 5*4*3 Escolhendo os lugares onde estes 3 ímpares ficaram , temos : C(5,3) E finalmente agrupando os pares de Cp’ = {2,4,6,8} nos locais restantes e sendo P’ o número de opções para se fazer isto , temos : P’ = 4*3 Portanto a resposta R , será: R = [O* C(6,3)*5*4*3] – [O’*C(5,3)* P’] 3)Dentre as permutações dos 10 dígitos (0,1,...,9) quantas são aquelas em que o primeiro dígito é maior do que 1 e o último dígito é menor do que 7 ? Dividindo em casos , temos : 1°Caso 1 < (1°dig.) < 7 e 1 >= (10° dig.) >= 0 2°Caso 7 <= (1° dig.) <= 9 e 7 > (10° dig.) > 1 Faça os casos separadamente , e some os resultados ! 5)De quantas maneiras podemos permutar as letras da palavra POSTER de tal forma que haja 2 consoantes entre as 2 vogais ? Cons = {p,s,t,r} Vogais = {o,e} Escolha dos lugares das vogais : C(3,1) Permutação das vogais : 2! Escolha das consoantes : C(4,2) Permutação das consoantes : 2! Permutação das consoantes que sobraram : 2! Portanto a resposta R , será: R = C(3,1) *2! *C(4,2)* 2!*2! O número 4 eu fiz de uma forma que eu abri em vários casos , como achei que ficou muito grande , alguem deve mandar uma solução mais simples . Espero ter ajudado .. : ) Abraços Luiz H. Barbosa __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================