--- Tertuliano Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Na realidade, para resolver o problema basta mostrar > q o limite pontual de uma sequencia de funcoes > continuas eh continua em pelo menos um ponto. Se > alguem conseguir isto já ficarei satisfeito.
?? Acho que não. Hah um teorema que diz que se uma sequencia de funcoes continuas em um espaco metrico converge puntualmente para uma funcao f em outro espaco metrico, entao o cojunto das descontinuidades de f eh de primeira categoria no sentido de Baire, isto eh, pode ser dado por uma uniao numeravel de conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Assim , provar que f eh continua em um ponto naum me parece garantir que seja continua em todo seu dominio. > Desculpe minha ignorância, mas o q diz o teorema de > Baire? Naum hah porque pedir desculpas. O teorema de Baire diz que todo espaco metrico completo eh um espaco de Baire. Um espaco metrico X eh um espaco de Baire se nenhum subconjunto aberto e nao vazio de X for de primeira categoria, na (infeliz) terminologia de Baire. Conjuntos de primeira categoria sao algumas vezes chamados de conjuntos magros (creio que porque em Ingles tais conjuntos sao denominados de meager sets). As conclusoes de Baire sao um pouco dificeis de colocar na massa do sangue, mas sao bem interessantes. Voltando aaquele problema que se queria resolver, o da funcao I, caracteristica dos irracionais. Esta funcao eh descontinua em todo o R (assim como a funcao de Dirichilet, que eh a funcao caracteristica dos racionais, eh descontinua em todo o R). O conjunto das descontinuidades de I eh, portanto, o proprio R que, por ser completo, eh um espaco de Baire. R eh aberto e, desta forma, naum eh de primeira categoria. Logo, R naum eh o conjunto das descontinuidades do limite de nenhuma sequencia de funcoes continuas em R. Concluimos assim que I naum eh o limite de nenhuma destas sequencias. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Photos: High-quality 4x6 digital prints for 25¢ http://photos.yahoo.com/ph/print_splash ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================