[obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D__A_menor_bissetriz_e_o_maior_lado_de_um_?= =?iso-8859-1?Q?tri=E2ngulo?=

[Fellipe Rossi]

Bom Rafael, eu tentei por esse caminho. Esteja com lapis e papel para anotar direitinho hehehe eh meio grande.   Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a, B=2b e C=2c, onde 2a>2b>2c, logo o maior lado � o lado BC.   Agora tome I como incentro de ABC, M o p� da bissetriz relativa a BC, N o p� da bissetriz relativa a AC e P o p� da bissetriz relativa a AB.   Olhando para o tri�ngulo AIB, como a>b podemos afirmar que BI>AI Olhando para o tri�ngulo AIC, como a>c podemos afirmar que CI>AI   Agora, se conseguirmos provar que IM<IN e IM<IP, terminamos nossa demonstra��o.   tra�ando os raios do c�rculo inscrito, formamos 3 triangulos ret�ngulos com I e os p�s das bissetrizes. analisando esses triangulos, podemos dizer, pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o �ngulo N vale b+2c. como a+2c > b+2c, ent�o MI<NI (as hipotenusas s�o inversamente proporcionais aos �ngulos, facilmente demonstrado pela rela��o de seno) Logo, ja sabemos que AM<BN.   tome o �ngulo BPC, ele vale 2a+c. tome o angulo AMC que vale a+2b  (ambos obtidos por �ngulo externo) Como BPC>AMC, o �ngulo P do tri�ngulo ret�ngulo � menor do que o �ngulo M, do outro tri�ngulo ret�ngulo. Logo IP>MI   ent�o, CP>AM   Creio que est� provado que AM (bissetriz relativa ao maior lado) � menos do que BN e CP.   O que voc�s acham (aqueles que tiveram paciencia de ler ate o fim eheh)   PS: com um desenho seria bem mais simples explicar.   Abra�os do Rossi     ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41 AM Subject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um tri�ngulo Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada... rafsanco <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Ol� para todos ! Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana que dizia o seguinte: ao maior lado de um tri�ngulo corresponde a menor bissetriz. Tentei prov�-lo da seguinte forma (infelizmente n�o disponho de recursos visuais, ent�o usem a imagina��o ou esbo�em o desenho num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja ABC um tri�ngulo qualquer, BC seu maior lado, I seu incentro, x a medida do angulo interno de v�rtice A, y a medida do �ngulo interno de v�rtice B, z a medida do �ngulo interno de v�rtice C, AM a bissetriz de x, BO a bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y e x > z uma vez que x � oposto a BC (suposto maior lado). Analisando o tri�ngulo AIC, v�-se que x/2 > z/2, logo CI > AI. Observando o tri�ngulo AIB � verdadeiro afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >! AI. Ora IM, IN e IO s�o segmentos de reta congruentes, visto que s�o raios da circunfer�ncia inscrita a ABC, ent�o BI + IO > AI + IM o que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI + IM = AM), assim como CI + IN > AI + IM o que implica que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, est� demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha demonstra��o � v�lida ou h� algo nela que a compromete (sei l�, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Voc�s conhecem alguma outra maneira de se provar esse teorema ? Se sim, exponha-a por favor. Abra�os, Rafael. __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - � gr�tis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!