� isso mesmo Claudio. Eu n�o apelei para a forma exponecial dos complexos. Veja x^6 + x^3 + 1 = 0 t = x^3 t=-1/2 +- (sqrt(3)/2)i
x = ((|z|)^(1/n))(cos(phi) + isen(phi)) phi = (theta + h2pi)/n
No caso temos |z| = 1 theta = 2pi/3 n = 3
Assim
h = 0 => phi = 2pi/2 h = 1 => phi = 8pi/9 h = 2 => phi = 14pi/9
Agora considere que para um polinomio do 2 grau
p(x) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2 a = ro*cos(phi) , b = ro*sin(phi)
entao
p(x) = x^2 - 2*ro*cos(phi)*x + ((ro)^2)((sin(phi))^2 + (cos(phi))^2) p(x) = x^2 - 2*ro*cos(phi)*x + (ro)^2
Acoplando isso para o polinomio em questao
x^6 + x^3 + 1 = (x^2 - 2*cos(2pi/9)x + 1)(x^2 - 2*cos(8pi/9)x + 1)(x^2 - 2*cos(14pi/9)x + 1)
Cl�udio (Pr�tica) wrote:
p(x) = x^6 + x^3 + 1 = (x^9 - 1)/(x^3 - 1) Ou seja, as ra�zes de p(x) s�o as ra�zes nonas da unidade com exce��o de 1, exp(i*2pi/3) e exp(i*4pi/3).
Seja w = exp(i*2pi/9). Ent�o as ra�zes de x^6 + x^3 + 1 s�o: w, w^2, w^4, w^(-1), w^(-2) e w^(-4).
w + w^(-1) = 2*cos(2pi/9) = A w^2 + w^(-2) = 2*cos(4pi/9) = B w^4 + w^(-4) = 2*cos(8pi/9) = C
Logo: p(x) = (x - w)*(x - w^(-1))*(x - w^2)*(x - w^(-2))*(x - w^4)*(x - w^(-4)) ==> p(x) = (x^2 - Ax + 1)*(x^2 - Bx + 1)*(x^2 - Cx + 1)
Obs 1: A, B e C s�o irracionais; Obs 2: p(x) � irredut�vel sobre Q.
-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye] "Now I will have less distraction" Leonhard Euler
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