Title: Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
Bom, se voce reparar, o que eu fiz foi encontrar uma fatoracao de f(x) usando um pouco de tentativa e erro.

Vamos tentar algo diferente - agrupar por potencias de z:
4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 =
4x(x+y)(z^2 + (2x+y)z + x(x+y)) + y^2z^2 =
(4x^2 + 4xy + y^2)z^2 + 4x(x+y)(2x+y)z + 4x^2(x+y)^2 =
(2x+y)^2z^2 + 2*2x(x+y)*(2x+y)z + (2x(x+y))^2 =
((2x+y)z + 2x(x+y))^2 >= 0.

Realmente, bem melhor que a primeira solucao...

[]s,
Claudio.


on 28.04.04 19:57, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Cláudio
Achei interessante sua resolução... Mas gostaria de ver por fatoração,
tem técnicas de desigualdades que estão um pouco acima do que eu sei fazer... Por isso recorri à lista
Gostaria de ver uma resolução diferente se possível

Obrigado

At 19:07 28/4/2004, you wrote:
E tudo na base da ignorancia!

Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda:
>
> (=> é maior ou igual a)
>
> Prove que:
>
> 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 => 0
>
Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x).
Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2.

Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores "distintos" de x. Isso nao garante
que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a
possibilidade. Expandindo, obtemos:

f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2.

Do que isso pode ser o quadrado?

O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma:
f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2

O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)! x, que deve ser igual a 4yz(y+z).
Isso indica que a = b = 2.

Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre
nao negativo.

Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma
prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir...

[]s,
Claudio.

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