----- Original Message ----- From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, May 18, 2004 4:43 PM Subject: [obm-l] [u] Álgebra
> Esse é bonitinho: > Seja F um corpo de característica p, mostre que se X^p - X - a é redutível > em F[X], então ele se decompõe (em fatores lineares) em F[X]. > > [ ]'s > Seja E uma extensão de F no qual f(x) tem uma raiz "b". É fácil ver que, nesse caso, para todo "r" em Z_p, b + r também é raiz, o que dá um total de p raízes. Ou seja, em E, f(x) = (x-b)(x-b-1)(x-b-2)...(x-b-p+1). Se "b" pertence a F, então acabou. Suponhamos, portanto, que f(x) não tenha raízes em F mas que seja redutível sobre F. Então, f(x) = g(x)h(x), onde g e h pertencem a F[x], grau(g) = n >= 1 e grau(h) >= 1. Podemos supor s.p.d.g. que g(x) é mônico (já que f(x) também é). Então, sobre E, g(x) = (x - b - r_1)(x - b - r_2)...(x - b - r_n), onde os r_i são elementos distintos de Z_p (ou mais precisamente, do subcorpo primo de F, o qual é isomorfo a Z_p). Como g(x) pertence a F[x], temos que: coeficiente de x^(n-1) de g(x) = -(b+r_1)-(b+r_2)-...-(b+r_n) = -nb - r_1 - ... - r_n = k pertence a F ==> b = -(k + r_1 + ... + r_n)/n pertence a F ==> contradição, pois b é raiz de f(x), o qual não tem raízes em F ==> f(x) é irredutível sobre F. *** O que podemos dizer sobre a reducibilidade de x^p - x - a sobre Q, onde p é primo e a é inteiro e primo com p? []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================