Ol� colegas da lista,
Apesar da resolu��o apresentada pelo Osvaldo ter seguido um poss�vel
racioc�nio correto para resolver esta quest�o, a an�lise dele est�
incompleta porque omite alguns passos muito importantes, o que pode nos
levar a encontrar solu��es inv�lidas. Neste problema especificamente, a
resposta encontrada est� correta, por�m, se modificarmos o valor da
diferen�a de quadrados de 27 para outro valor, ent�o a resolu��o dele pode
nos levar a resultados errados.
A an�lise que eu apresento a seguir corresponde a uma cr�tica de
car�ter construtivo com rela��o � resolu��o apresentada pelo Osvaldo. O
objetivo desta an�lise n�o � depreciar a resolu��o do Osvaldo, mas sim de
mostrar que � necess�rio sermos rigorosos nas resolu��es de problemas de
Matem�tica para n�o chegarmos a resultados incorretos. Muitas vezes podemos
encontrar uma resposta correta para uma quest�o resolvendo-a de maneira
errada.
Na resolu��o apresentada abaixo, considere que "=>" significa
"implica" e ">=" significa "maior ou igual a".
QUEST�O ORIGINAL:
"A diferen�a entre os quadrados de dois n�meros naturais � 27. UM dos
poss�veis valores do quadrado da soma desses dois n�meros:
a)529
b)625
c)729
d)841"
RESOLU��O POSS�VEL:
Sejam x e y os dois n�meros naturais, ent�o devemos ter:
x^2 - y^2 = 27 <=> (x + y)(x - y) = 27
Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b � positivo)
Resolvendo o sistema de equa��es nas vari�veis x e y, podemos encontrar x e
y em fun��o de a e b:
a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a + b)/2 (ii)
a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a - b)/2 (iii)
Como x e y s�o naturais, ent�o x >= 0 e y >= 0. Portanto:
x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade (i), a n�o pode ser 0,
logo a > 0 (iv)
Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), ent�o b > 0 (v)
y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => x + y >= x - y =>
a >= b (vi)
Por (v) e (vi), conclu�mos que: a >= b > 0 (vii)
Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais que sejam satisfeitas as
seguintes condi��es:
a.b = 27 (ii)
a >= b > 0 (vii)
x = (a + b)/2 (ii) seja um n�mero natural.
y = (a - b)/2 (iii) seja um n�mero natural.
Analisando os divisores de 27, podemos concluir que existem apenas dois
pares de valores de a e b que satisfazem as condi��es (ii) e (vii):
(a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
Para a = 27 e b = 1:
x = (27 + 1)/2 = 14 � um n�mero natural.
y = (27 - 1)/2 = 13 � um n�mero natural.
Portanto, x = 14 e y = 13 � uma solu��o poss�vel.
Para a = 9 e b = 3:
x = (9 + 3)/2 = 6 � um n�mero natural.
y = (9 - 3)/2 = 3 � um n�mero natural.
Portanto, x = 6 e y = 3 � uma solu��o poss�vel.
Poss�veis valores para (x + y)^2:
(x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
(x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
Resposta: Alternativa c
Observa��o: Pode parecer que os passos apresentados para deduzir as
condi��es s�o desnecess�rios, mas s�o eles que garantem a validade das
solu��es encontradas.
EXPLICA��O DO MOTIVO DA RESOLU��O APRESENTADA PELO OSVALDO SER INCOMPLETA:
Na resolu��o s�o apresentados 4 valores poss�veis para a e b (a,b):
{(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Por�m, (1,27) e (3,9) n�o satisfazem a condi��o
(vii): a >= b > 0. Portanto, somente os pares (9,3) e (27,1) correspondem a
poss�veis valores para a e b, restando apenas verificar se eles produzem
valores naturais para x e y. Logo, na lista de valores apresentados para
(x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, n�o poderia aparecer os valores 1 = 1^2 e
nem 9 = 3^2. Al�m disto, n�o h� garantia de que 81 = 9^2 e 729 = 27^2
correspondem a valores de a e b v�lidos, pois os valores de x e y n�o s�o
calculados para verificar se eles s�o naturais, como foi descrito no
enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b encontrados poderiam
n�o ser v�lidos. Neste problema espec�fico, os valores de a e b encontrados
s�o v�lidos, logo a resposta encontrada est� correta. A seguir, eu apresento
uma varia��o deste problema que mostra de maneira concreta que a resolu��o
apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados errados. Para se ter uma
id�ia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, � correto!
QUEST�O MODIFICADA:
"A diferen�a entre os quadrados de dois n�meros naturais � 68. UM dos
poss�veis valores do quadrado da soma desses dois n�meros:
a)16
b)289
c)1156
d)4624"
RESOLU��O DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERS�O MODIFICADA DA QUEST�O:
sejam x e y tais numeros, dai temos que
x^2-y^2=68
(x+y)(x-y)=68
a=x+y
b=x-y
Possiveis valores para a e b (x,y):
{(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)}
Assim (x+y)^2=a^2
Temos ent�o que todos os valores de (x+y)^2 pertencem a
{1, 4, 16, 289, 1156, 4624)
Logo quatro dos valores possiveis s�o 16, 289, 1156 e 4624
resposta a, b, c, d
RESOLU��O CORRETA POSS�VEL PARA A QUEST�O MODIFICADA:
Sejam x e y os dois n�meros naturais, ent�o devemos ter:
x^2 - y^2 = 68 <=> (x + y)(x - y) = 68
Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
a.b = 68 (i) (Observe que o produto de a e b � positivo)
Resolvendo o sistema de equa��es nas vari�veis x e y, podemos encontrar x e
y em fun��o de a e b:
a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a + b)/2 (ii)
a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a - b)/2 (iii)
Como x e y s�o naturais, ent�o x >= 0 e y >= 0. Portanto:
x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade (i), a n�o pode ser 0,
logo a > 0 (iv)
Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), ent�o b > 0 (v)
y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => x + y >= x - y =>
a >= b (vi)
Por (v) e (vi), conclu�mos que: a >= b > 0 (vii)
Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais que sejam satisfeitas as
seguintes condi��es:
a.b = 68 (ii)
a >= b > 0 (vii)
x = (a + b)/2 (ii) seja um n�mero natural.
y = (a - b)/2 (iii) seja um n�mero natural.
Analisando os divisores de 68, podemos concluir que existem apenas tr�s
pares de valores de a e b que satisfazem as condi��es (ii) e (vii):
(a = 68 e b = 1) ou (a = 34 e b = 2) ou (a = 17 e b = 4)
Para a = 68 e b = 1:
x = (68 + 1)/2 = 69/2 N�O � um n�mero natural.
y = (68 - 1)/2 = 67/2 N�O � um n�mero natural.
Portanto, x = 69/2 e y = 67/2 N�O � uma solu��o poss�vel.
Para a = 34 e b = 2:
x = (34 + 2)/2 = 18 � um n�mero natural.
y = (34 - 2)/2 = 16 � um n�mero natural.
Portanto, x = 18 e y = 16 � uma solu��o poss�vel.
Para a = 17 e b = 4:
x = (17 + 4)/2 = 21/2 N�O � um n�mero natural.
y = (17 - 4)/2 = 13/2 N�O � um n�mero natural.
Portanto, x = 21/2 e y = 13/2 N�O � uma solu��o poss�vel.
�nico valor poss�vel para (x + y)^2:
(x + y)^2 = (18 + 16)^2 = 34^2 = 1156
Resposta: Alternativa c
Atenciosamente,
Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: domingo, 23 de maio de 2004 01:01
To: obm-l
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] d�vida chara!
sejam x e y tais numeros, dai temos que
x^2-y^2=27
(x+y)(x-y)=27
a=x+y
b=x-y
Possiveis valores para a e b (x,y):
{(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}
Assim (x+y)^2=a^2
Temos ent�o que todos os valores de (x+y)^2 pertencem a
{1, 9, 81, 729)
Logo um dos valores possiveis � 729
resposta c
> 1)a diferen�a entre os quadrados de dois n�meros
naturais � 27.UM dos poss�veis valores do quadrado da
soma desses dois n�meros:
>
> a)529
> b)625
> c)729
> d)841
>
Atenciosamente,
Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usu�rio de GNU/Linux
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - � gr�tis!
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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