Desculpe-me se fui parcial Dr., por�m equivoquei-me ao
ler o enunciado da quest�o. Eu apenas fiz os calculos
para os n�meros inteiros e n�o naturais, ou seja,
inclui algumas possibilidades a mais.
Obrigado pela observa��o!
> Ol� colegas da lista,
>
> Apesar da resolu��o apresentada pelo Osvaldo
ter seguido um poss�vel
> racioc�nio correto para resolver esta quest�o, a
an�lise dele est�
> incompleta porque omite alguns passos muito
importantes, o que pode nos
> levar a encontrar solu��es inv�lidas. Neste problema
especificamente, a
> resposta encontrada est� correta, por�m, se
modificarmos o valor da
> diferen�a de quadrados de 27 para outro valor, ent�o
a resolu��o dele pode
> nos levar a resultados errados.
>
> A an�lise que eu apresento a seguir
corresponde a uma cr�tica de
> car�ter construtivo com rela��o � resolu��o
apresentada pelo Osvaldo. O
> objetivo desta an�lise n�o � depreciar a resolu��o
do Osvaldo, mas sim de
> mostrar que � necess�rio sermos rigorosos nas
resolu��es de problemas de
> Matem�tica para n�o chegarmos a resultados
incorretos. Muitas vezes podemos
> encontrar uma resposta correta para uma quest�o
resolvendo-a de maneira
> errada.
>
> Na resolu��o apresentada abaixo, considere
que "=>" significa
> "implica" e ">=" significa "maior ou igual a".
>
>
> QUEST�O ORIGINAL:
>
> "A diferen�a entre os quadrados de dois n�meros
naturais � 27. UM dos
> poss�veis valores do quadrado da soma desses dois
n�meros:
> a)529
> b)625
> c)729
> d)841"
>
>
> RESOLU��O POSS�VEL:
>
> Sejam x e y os dois n�meros naturais, ent�o devemos
ter:
> x^2 - y^2 = 27 <=> (x + y)(x - y) = 27
>
> Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
> a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b �
positivo)
> Resolvendo o sistema de equa��es nas vari�veis x e
y, podemos encontrar x e
> y em fun��o de a e b:
> a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a
+ b)/2 (ii)
> a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a -
b)/2 (iii)
>
> Como x e y s�o naturais, ent�o x >= 0 e y >= 0.
Portanto:
> x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade
(i), a n�o pode ser 0,
> logo a > 0 (iv)
> Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), ent�o b > 0 (v)
> y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y =>
x + y >= x - y =>
> a >= b (vi)
> Por (v) e (vi), conclu�mos que: a >= b > 0 (vii)
>
> Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais
que sejam satisfeitas as
> seguintes condi��es:
> a.b = 27 (ii)
> a >= b > 0 (vii)
> x = (a + b)/2 (ii) seja um n�mero natural.
> y = (a - b)/2 (iii) seja um n�mero natural.
>
> Analisando os divisores de 27, podemos concluir que
existem apenas dois
> pares de valores de a e b que satisfazem as
condi��es (ii) e (vii):
> (a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
>
> Para a = 27 e b = 1:
> x = (27 + 1)/2 = 14 � um n�mero natural.
> y = (27 - 1)/2 = 13 � um n�mero natural.
> Portanto, x = 14 e y = 13 � uma solu��o poss�vel.
>
> Para a = 9 e b = 3:
> x = (9 + 3)/2 = 6 � um n�mero natural.
> y = (9 - 3)/2 = 3 � um n�mero natural.
> Portanto, x = 6 e y = 3 � uma solu��o poss�vel.
>
> Poss�veis valores para (x + y)^2:
> (x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
> (x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
>
> Resposta: Alternativa c
>
>
> Observa��o: Pode parecer que os passos apresentados
para deduzir as
> condi��es s�o desnecess�rios, mas s�o eles que
garantem a validade das
> solu��es encontradas.
>
>
> EXPLICA��O DO MOTIVO DA RESOLU��O APRESENTADA PELO
OSVALDO SER INCOMPLETA:
>
> Na resolu��o s�o apresentados 4 valores poss�veis
para a e b (a,b):
> {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Por�m, (1,27) e (3,9)
n�o satisfazem a condi��o
> (vii): a >= b > 0. Portanto, somente os pares (9,3)
e (27,1) correspondem a
> poss�veis valores para a e b, restando apenas
verificar se eles produzem
> valores naturais para x e y. Logo, na lista de
valores apresentados para
> (x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, n�o poderia aparecer
os valores 1 = 1^2 e
> nem 9 = 3^2. Al�m disto, n�o h� garantia de que 81 =
9^2 e 729 = 27^2
> correspondem a valores de a e b v�lidos, pois os
valores de x e y n�o s�o
> calculados para verificar se eles s�o naturais, como
foi descrito no
> enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b
encontrados poderiam
> n�o ser v�lidos. Neste problema espec�fico, os
valores de a e b encontrados
> s�o v�lidos, logo a resposta encontrada est�
correta. A seguir, eu apresento
> uma varia��o deste problema que mostra de maneira
concreta que a resolu��o
> apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados
errados. Para se ter uma
> id�ia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, �
correto!
>
>
>
> QUEST�O MODIFICADA:
>
> "A diferen�a entre os quadrados de dois n�meros
naturais � 68. UM dos
> poss�veis valores do quadrado da soma desses dois
n�meros:
> a)16
> b)289
> c)1156
> d)4624"
>
>
> RESOLU��O DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERS�O
MODIFICADA DA QUEST�O:
>
> sejam x e y tais numeros, dai temos que
> x^2-y^2=68
>
> (x+y)(x-y)=68
>
>
> a=x+y
> b=x-y
>
> Possiveis valores para a e b (x,y):
>
> {(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)}
>
> Assim (x+y)^2=a^2
>
> Temos ent�o que todos os valores de (x+y)^2
pertencem a
> {1, 4, 16, 289, 1156, 4624)
>
> Logo quatro dos valores possiveis s�o 16, 289, 1156
e 4624
> resposta a, b, c, d
>
>
>
> RESOLU��O CORRETA POSS�VEL PARA A QUEST�O MODIFICADA:
>
> Sejam x e y os dois n�meros naturais, ent�o devemos
ter:
> x^2 - y^2 = 68 <=> (x + y)(x - y) = 68
>
> Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
> a.b = 68 (i) (Observe que o produto de a e b �
positivo)
> Resolvendo o sistema de equa��es nas vari�veis x e
y, podemos encontrar x e
> y em fun��o de a e b:
> a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a
+ b)/2 (ii)
> a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a -
b)/2 (iii)
>
> Como x e y s�o naturais, ent�o x >= 0 e y >= 0.
Portanto:
> x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade
(i), a n�o pode ser 0,
> logo a > 0 (iv)
> Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), ent�o b > 0 (v)
> y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y =>
x + y >= x - y =>
> a >= b (vi)
> Por (v) e (vi), conclu�mos que: a >= b > 0 (vii)
>
> Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais
que sejam satisfeitas as
> seguintes condi��es:
> a.b = 68 (ii)
> a >= b > 0 (vii)
> x = (a + b)/2 (ii) seja um n�mero natural.
> y = (a - b)/2 (iii) seja um n�mero natural.
>
> Analisando os divisores de 68, podemos concluir que
existem apenas tr�s
> pares de valores de a e b que satisfazem as
condi��es (ii) e (vii):
> (a = 68 e b = 1) ou (a = 34 e b = 2) ou (a = 17 e b
= 4)
>
> Para a = 68 e b = 1:
> x = (68 + 1)/2 = 69/2 N�O � um n�mero natural.
> y = (68 - 1)/2 = 67/2 N�O � um n�mero natural.
> Portanto, x = 69/2 e y = 67/2 N�O � uma solu��o
poss�vel.
>
> Para a = 34 e b = 2:
> x = (34 + 2)/2 = 18 � um n�mero natural.
> y = (34 - 2)/2 = 16 � um n�mero natural.
> Portanto, x = 18 e y = 16 � uma solu��o poss�vel.
>
> Para a = 17 e b = 4:
> x = (17 + 4)/2 = 21/2 N�O � um n�mero natural.
> y = (17 - 4)/2 = 13/2 N�O � um n�mero natural.
> Portanto, x = 21/2 e y = 13/2 N�O � uma solu��o
poss�vel.
>
> �nico valor poss�vel para (x + y)^2:
> (x + y)^2 = (18 + 16)^2 = 34^2 = 1156
>
> Resposta: Alternativa c
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Rog�rio Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: domingo, 23 de maio de 2004 01:01
> To: obm-l
> Subject: [obm-l] Re:[obm-l] d�vida chara!
>
> sejam x e y tais numeros, dai temos que
> x^2-y^2=27
>
> (x+y)(x-y)=27
>
>
> a=x+y
> b=x-y
>
> Possiveis valores para a e b (x,y):
>
> {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}
>
> Assim (x+y)^2=a^2
>
> Temos ent�o que todos os valores de (x+y)^2
pertencem a
> {1, 9, 81, 729)
>
> Logo um dos valores possiveis � 729
> resposta c
>
>
>
>
>
>
> > 1)a diferen�a entre os quadrados de dois n�meros
> naturais � 27.UM dos poss�veis valores do quadrado
da
> soma desses dois n�meros:
> >
> > a)529
> > b)625
> > c)729
> > d)841
> >
>
> Atenciosamente,
>
> Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usu�rio de GNU/Linux
>
>
>
>
_______________________________________________________
___________________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - � gr�tis!
> http://antipopup.uol.com.br/
>
>
>
>
=======================================================
==================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Atenciosamente,
Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usu�rio de GNU/Linux
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