Desculpe-me se fui parcial Dr., porém equivoquei-me ao ler o enunciado da questão. Eu apenas fiz os calculos para os números inteiros e não naturais, ou seja, inclui algumas possibilidades a mais. Obrigado pela observação!
> Olá colegas da lista, > > Apesar da resolução apresentada pelo Osvaldo ter seguido um possível > raciocínio correto para resolver esta questão, a análise dele está > incompleta porque omite alguns passos muito importantes, o que pode nos > levar a encontrar soluções inválidas. Neste problema especificamente, a > resposta encontrada está correta, porém, se modificarmos o valor da > diferença de quadrados de 27 para outro valor, então a resolução dele pode > nos levar a resultados errados. > > A análise que eu apresento a seguir corresponde a uma crítica de > caráter construtivo com relação à resolução apresentada pelo Osvaldo. O > objetivo desta análise não é depreciar a resolução do Osvaldo, mas sim de > mostrar que é necessário sermos rigorosos nas resoluções de problemas de > Matemática para não chegarmos a resultados incorretos. Muitas vezes podemos > encontrar uma resposta correta para uma questão resolvendo-a de maneira > errada. > > Na resolução apresentada abaixo, considere que "=>" significa > "implica" e ">=" significa "maior ou igual a". > > > QUESTÃO ORIGINAL: > > "A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 27. UM dos > possíveis valores do quadrado da soma desses dois números: > a)529 > b)625 > c)729 > d)841" > > > RESOLUÇÃO POSSÍVEL: > > Sejam x e y os dois números naturais, então devemos ter: > x^2 - y^2 = 27 <=> (x + y)(x - y) = 27 > > Adotando a = x + y e b = x - y, teremos: > a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b é positivo) > Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e y, podemos encontrar x e > y em função de a e b: > a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a + b)/2 (ii) > a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a - b)/2 (iii) > > Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0. Portanto: > x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade (i), a não pode ser 0, > logo a > 0 (iv) > Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v) > y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => x + y >= x - y => > a >= b (vi) > Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii) > > Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais que sejam satisfeitas as > seguintes condições: > a.b = 27 (ii) > a >= b > 0 (vii) > x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural. > y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural. > > Analisando os divisores de 27, podemos concluir que existem apenas dois > pares de valores de a e b que satisfazem as condições (ii) e (vii): > (a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3) > > Para a = 27 e b = 1: > x = (27 + 1)/2 = 14 é um número natural. > y = (27 - 1)/2 = 13 é um número natural. > Portanto, x = 14 e y = 13 é uma solução possível. > > Para a = 9 e b = 3: > x = (9 + 3)/2 = 6 é um número natural. > y = (9 - 3)/2 = 3 é um número natural. > Portanto, x = 6 e y = 3 é uma solução possível. > > Possíveis valores para (x + y)^2: > (x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729 > (x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81 > > Resposta: Alternativa c > > > Observação: Pode parecer que os passos apresentados para deduzir as > condições são desnecessários, mas são eles que garantem a validade das > soluções encontradas. > > > EXPLICAÇÃO DO MOTIVO DA RESOLUÇÃO APRESENTADA PELO OSVALDO SER INCOMPLETA: > > Na resolução são apresentados 4 valores possíveis para a e b (a,b): > {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Porém, (1,27) e (3,9) não satisfazem a condição > (vii): a >= b > 0. Portanto, somente os pares (9,3) e (27,1) correspondem a > possíveis valores para a e b, restando apenas verificar se eles produzem > valores naturais para x e y. Logo, na lista de valores apresentados para > (x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, não poderia aparecer os valores 1 = 1^2 e > nem 9 = 3^2. Além disto, não há garantia de que 81 = 9^2 e 729 = 27^2 > correspondem a valores de a e b válidos, pois os valores de x e y não são > calculados para verificar se eles são naturais, como foi descrito no > enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b encontrados poderiam > não ser válidos. Neste problema específico, os valores de a e b encontrados > são válidos, logo a resposta encontrada está correta. A seguir, eu apresento > uma variação deste problema que mostra de maneira concreta que a resolução > apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados errados. Para se ter uma > idéia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, é correto! > > > > QUESTÃO MODIFICADA: > > "A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 68. UM dos > possíveis valores do quadrado da soma desses dois números: > a)16 > b)289 > c)1156 > d)4624" > > > RESOLUÇÃO DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERSÃO MODIFICADA DA QUESTÃO: > > sejam x e y tais numeros, dai temos que > x^2-y^2=68 > > (x+y)(x-y)=68 > > > a=x+y > b=x-y > > Possiveis valores para a e b (x,y): > > {(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)} > > Assim (x+y)^2=a^2 > > Temos então que todos os valores de (x+y)^2 pertencem a > {1, 4, 16, 289, 1156, 4624) > > Logo quatro dos valores possiveis são 16, 289, 1156 e 4624 > resposta a, b, c, d > > > > RESOLUÇÃO CORRETA POSSÍVEL PARA A QUESTÃO MODIFICADA: > > Sejam x e y os dois números naturais, então devemos ter: > x^2 - y^2 = 68 <=> (x + y)(x - y) = 68 > > Adotando a = x + y e b = x - y, teremos: > a.b = 68 (i) (Observe que o produto de a e b é positivo) > Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e y, podemos encontrar x e > y em função de a e b: > a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a + b)/2 (ii) > a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a - b)/2 (iii) > > Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0. Portanto: > x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade (i), a não pode ser 0, > logo a > 0 (iv) > Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v) > y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => x + y >= x - y => > a >= b (vi) > Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii) > > Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais que sejam satisfeitas as > seguintes condições: > a.b = 68 (ii) > a >= b > 0 (vii) > x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural. > y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural. > > Analisando os divisores de 68, podemos concluir que existem apenas três > pares de valores de a e b que satisfazem as condições (ii) e (vii): > (a = 68 e b = 1) ou (a = 34 e b = 2) ou (a = 17 e b = 4) > > Para a = 68 e b = 1: > x = (68 + 1)/2 = 69/2 NÃO é um número natural. > y = (68 - 1)/2 = 67/2 NÃO é um número natural. > Portanto, x = 69/2 e y = 67/2 NÃO é uma solução possível. > > Para a = 34 e b = 2: > x = (34 + 2)/2 = 18 é um número natural. > y = (34 - 2)/2 = 16 é um número natural. > Portanto, x = 18 e y = 16 é uma solução possível. > > Para a = 17 e b = 4: > x = (17 + 4)/2 = 21/2 NÃO é um número natural. > y = (17 - 4)/2 = 13/2 NÃO é um número natural. > Portanto, x = 21/2 e y = 13/2 NÃO é uma solução possível. > > Único valor possível para (x + y)^2: > (x + y)^2 = (18 + 16)^2 = 34^2 = 1156 > > Resposta: Alternativa c > > > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of Osvaldo > Sent: domingo, 23 de maio de 2004 01:01 > To: obm-l > Subject: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara! > > sejam x e y tais numeros, dai temos que > x^2-y^2=27 > > (x+y)(x-y)=27 > > > a=x+y > b=x-y > > Possiveis valores para a e b (x,y): > > {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)} > > Assim (x+y)^2=a^2 > > Temos então que todos os valores de (x+y)^2 pertencem a > {1, 9, 81, 729) > > Logo um dos valores possiveis é 729 > resposta c > > > > > > > > 1)a diferença entre os quadrados de dois números > naturais é 27.UM dos possíveis valores do quadrado da > soma desses dois números: > > > > a)529 > > b)625 > > c)729 > > d)841 > > > > Atenciosamente, > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usuário de GNU/Linux > > > > _______________________________________________________ ___________________ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > > > > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. 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