Olá, resolvi o problema 3, vou dar uma breve descrição do que eu fiz. Não estou com tempo para passar tudo a limpo então a mensagem vai 'a la Dirichlet'.
Defina f(k) := soma dos dígitos de k em base 10. 1. Mostre que se 0 <= a <= 9 e 0 <= b < 10^n, então f(a.10^n + b) = f(a) + f(b) e f(2a.10^n + 2b) = f(2a) + f(2b). Defina X(n, i) = #{x | 0 <= x < 10^n, f(x) - f(2x) = i}. 2. A partir de (1), mostre uma recorrência de X(n+1, i) em função dos X(n, j)'s. dica: X(n+1, i) = #{a.10^n + b | 0 <= a <= 9, 0 <= b < 10^n, f(a.10^n + b) - f(2a.10^n + 2b) = f(a) - f(2a) + f(b) - f(2b) = i}. 3. Mostre que X(n, i) é simétrica em relação a X(n, 0), ou seja X(n, -i) = X(n, i). 4. Mostre que X(n, i) >= X(n, i + 1) para i >= 0. 5. Verifique que X(n, 0) < 10^(n - 1) para n >= 3. 6. Deduza que C_n > (4/9).10^n para n >= 3 a partir de 5 e prove os casos n = 1,2 no braço. [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================