Olá Thor, Segue uma resolução possível para esta questão.
RESOLUÇÃO POSSÍVEL: Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos perímetros (P), então eles são congruentes, pois terão os mesmos lados (L = P/4). Como o esboço da figura é muito importante para facilitar a compreensão da resolução, segue a descrição do mesmo. Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L = P/4) e centro O. Agora obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rotação de um ângulo BETA de ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, tal que 0 < BETA < 90°. Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados como H[1], H[2], H[3], ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de interseção mais próximo de A no segmento AB. Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') de rotação do quadrado ABCD deve ser igual a 45°. Para isto, considere P o ponto de interseção do segmento AO com o lado D'A' do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do segmento A'O com o lado AB do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o ângulo <PH[1]Q corresponde a um dos ângulos internos de um octógono regular (dado do enunciado), então: <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135° <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° => <PH[1]A = 45° <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma diagonal e um lado do quadrado ABCD) Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + <PH[1]A => <OPH[1] = 90° Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90° A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]Q é igual a 360°, portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360° => 90° + 135° + 90° + BETA = 360° => BETA = 45° Observe que: AO = AP + PO (i) AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO = L.sqr(2)/2 (ii) AP: metade do lado do octógono regular (X/2), pois na dedução do ângulo de rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH[1] é retângulo isósceles. Analogamente, podemos concluir que APH[8] é retângulo isósceles. Como o lado AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1] e APH[8] são congruentes pelo critério ALA. Considerando X como a medida do lado do octógono regular H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH[1] = PH[8] = X/2 (iii) PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO = L/2 (iv) Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na igualdade (i), teremos: L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4 Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4 Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho ______________________________________ From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Thor Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Geom. Plana Dois quadrados concêntricos de perímetro P , cada , são interceptados de modo que os pontos de interseção de seus lados sejam os vértices de um octógono regular.Qual é o lado desse octógono em funçao de P? Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai parei!!!! Agradeço desde de já. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================