eu queria ver como a larissa lima iria resolver esse, ela sempre tem uma carta escondida na manga.
> Aqui vai outra solucao (longa) ... > Eu ainda gostaria de ver uma solucao grega pra esse problema. > > > 2. Três lados consecutivos de um quadrilátero convexo são a, b e c. > > Determine o quadrilátero de área máxima . > > Seja ABCD o quadrilatero, de forma que: > AB = a, BC = b, CD = c. Ponhamos AC = x. > > Entao, 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*x*sen(ACD) > > Lei dos Cossenos ==> x = raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos (ABC)). > > Assim: > 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))*sen(ACD). > Ou seja, temos duas variaveis independentes para escolher: ABC e ACD. > > Eh facil ver que 2*[ABCD] maximo ==> > sen(ACD) maximo ==> > sen(ACD) = 1 ==> > ACD = Pi/2 ==> > > 2*[ABCD]max = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)) > > Pondo cos(ABC) = t, teremos sen(ABC) = raiz(1 - t^2) >= 0, > pois 0 <= ABC <= Pi. > > Se F(t) = 2*[ABCD], entao: > F(t) = a*b*raiz(1 - t^2) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) > > Naturalmente, F(t) serah maximo para t em [-1,0]. > > Para achar os pontos criticos de F, temos que calcular F'(t): > > F'(t) = -a*b*t/raiz(1 - t^2) - a*b*c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) > > F'(0) = -a*b*c/raiz(a^2+b^2) < 0 > F'(t) -> +infinito quando t -> -1 pela direita. > Logo, t = 0 e t = -1 nao sao pontos de maximo. > > Assim, o ponto de maximo estarah no intervalo (-1,0) > > F'(t) = 0 ==> > t/raiz(1 - t^2) = - c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) ==> > t^2/(1 - t^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) e -1 < t < 0 (*) > > Como o triangulo ACD eh retangulo em C, teremos que cos(ADC) = CD/AD. > Pondo cos(ADC) = s > 0 (pois ADC < Pi/2), teremos: > s = c/raiz(c^2+x^2) = c/raiz(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==> > s^2 = c^2/(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==> > s^2/(1 - s^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) (**) > > (*) e (**) ==> > t^2/(1 - t^2) = s^2/(1 - s^2) ==> > t^2 = s^2 ==> > t = -s, pois t < 0 e s > 0 ==> > cos(ABC) = -cos(ADC) ==> > ABC = Pi - ADC ==> > ABCD eh ciclico > > Alem disso, como o triangulo ACD eh retangulo, AD serah o diametro do > circulo circunscrito a ABCD. > > Interessante observar que para obtermos o valor de t = cos(ABC), > precisaremos resolver uma equacao do 3o. grau: > 2*a*b*t^3 - (a^2 + b^2 + c^2)*t^2 + c^2 = 0 > (t serah a raiz negativa dessa equacao) > > > []s, > Claudio. > > > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
