Resolva no campo dos reais a equa��o:
sqr[x + 2.sqr(x - 1)] + sqr[x - 2.sqr(x - 1)] = 2
RESOLU��O POSS�VEL:
Condi��o de exist�ncia no campo dos reais:
x - 1 >= 0 <=> x >= 1
Considerando x >= 1, podemos concluir que:
x + 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 + 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) + 1]^2
x - 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 - 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) - 1]^2
Logo, teremos:
sqr{[sqr(x - 1) + 1]^2} + sqr{[sqr(x - 1) - 1]^2} = 2
|sqr(x - 1) + 1| + |sqr(x - 1) - 1| = 2 (i)
x - 1 >= 0 => sqr(x - 1) >= sqr(0) => sqr(x - 1) + 1 >= 1 => |sqr(x - 1) +
1| = sqr(x - 1) + 1 (ii)
A fun��o sqr(X) � estritamente crescente em X, para todo X real n�o
negativo, logo: sqr(X1) - sqr(X2) >= 0 <=> sqr(X1) <= sqr(X2) <=> X1 <= X2 e
sqr(X1) - sqr(X2) < 0 <=> sqr(X1) < sqr(X2) <=> X1 < X2, para todos X1, X2
reais n�o negativos. Sendo assim, analisando a express�o sqr(x - 1) - 1 =
sqr(x - 1) - sqr(1), conclu�mos que:
sqr(x - 1) - sqr(1) < 0 <=> x - 1 < 1 <=> x < 2
sqr(x - 1) - sqr(1) >= 0 <=> x - 1 >= 1 <=> x >= 2
Logo:
|sqr(x - 1) - 1| = sqr(x - 1) - 1, para x >= 2 e |sqr(x - 1) - 1| = 1 -
sqr(x - 1), para x < 2 (iii)
Substituindo (ii) e (iii) em (i), teremos:
Para 1 <= x < 2:
sqr(x - 1) + 1 + 1 - sqr(x - 1) = 2 <=> 0.sqr(x - 1) = 0 (Satisfeita para
qualquer x no intervalo considerado, ou seja, 1 <= x < 2) (iv)
Para x >= 2:
sqr(x - 1) + 1 + sqr(x - 1) - 1 = 2 <=> 2.sqr(x - 1) = 2 <=> [sqr(x - 1)]^2
= 1^2 (observe que os radicandos s�o n�o negativos) <=> x - 1 = 1 <=> x = 2
(v)
Unindo as solu��es de (iv) e (v): S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2}
Resposta: S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2}
Abra�os,
Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Maurizio
Sent: segunda-feira, 7 de junho de 2004 19:22
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3
Ol�
a quest�o 16 � assim:
[x+2(x-1)^1/2]1/2+[x-2(x-1)^1/2]1/2=2
Eu obtive essa resolu��oi mas n�o est� dando certo... Quem escrever
alguma resolu��o ou indicar o erro da minha eu agrade�o desde j�
{[x+2(x-1)^1/2]1/2}^2+2{[x+2(x-1)^1/2]1/2.[x-2(x-1)^1/2]1/2]}+{[x-2(x-1)^1/2
]1/2}^2=4
x+2[x-1]^1/2+2{x^2-2[x-1]^1/2}^1/2+x-2[x-1]^1/2=4
2x+2[x^2-4(x-1)]^1/2=4
x=2
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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