Oi, Artur: Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?
[]s, Claudio. on 18.06.04 11:17, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em > espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira. > > Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o > conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de > Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente. > Logo, A naum eh vazio. > Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x. > Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero > apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus > elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por > todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n}, > do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do > complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o > complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer > espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana). > Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a > sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o > diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A > eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja > compacto. > > Artur > > > > Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência > limitada é um conjunto compacto não vazio? > > [ ]’s > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================