Ola Eder,
Ok !
Vamos fazer o seguinte. Vou provar um resultado classico que voce podera usar na solucao.
TEOREMA DE CAUCHY : Se G e um grupo finito e "p" e um numero primo que divide
a ordem de G entao existe um elemento "g" de G de ordem "p".
PROVA : Vamos usar inducao sobre a ordem de G. Mais especificamente vamos mostrar que
( HIPOTESE DE INDUCAO ) se todos os grupos com ordem menor que G satisfazem o TEOREMA DE CAUCHY entao G satisfaz o TEOREMA DE CAUCHY.
1) Se a ordem de G for um numero primo, |G| = p, entao a prova e trivial e nem precisamos usar a hipotese de inducao, pois "p" sera o unico numero primo que pode dividir a ordem de G e se "g"
for um elemento de G entao, pelo teorema de Lagrange, <g> divide |G|, isto e, a ordem de
"g" e "p". Assim, nao so um, mas todos os elementos de G ( com excecao da identidade ) tem
ordem "p"
2) Se ordem de G nao for um numero primo, seja "p" um numero primo que divide a ordem de G.
Tomando um elemento "g" pertencente a G, "g" diferente de "e", considere o subgrupo de G : H=<g>. Existem duas possibilidades para H :
PRIMEIRA : H e igual a G. Neste caso, G e ciclico com G=<g>. Seja N=|G| e considere o elemento g^(N/p). Claramente que g^(N/p) pertence a G e ordem de g^(N/p) e "p". Assim,
G tem um elemento de ordem "p" e acabou.
SEGUNDA : H e diferente de G. Neste caso |H| < |G|.
Se "p" divide |H|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe "h" pertencente a H tal que ordem de "h" e "p". Como H e subconjunto de G segue que "h" e tambem elmento de G e, portanto, G tem um elemento de ordem "p" e acabou.
Se "p" nao divide |H| ( mas "p" divide |G|, por hipotese ), pelo teorema de Lagrange |G|=|H|(G:H) teremos que "p" divide (G:H), isto e, "p" divide o indice de H em G. Como (G:H) =| G/H | e
G/H| < |G|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe um h_ ( h barra ) em G/H de ordem "p".
Considere a projecao canonica :
p : G -> G/H
Sabemos que trata-se de um homomorfismo e que em todo homomorfismo a ORDEM DA IMAGEM DE UM ELEMENTO DIVIDE A ORDEM DO ELEMENTO, isto e, |h_| divide |h| para algum "h" em G. Como |h_| = p => |h| = kp, para algum k inteiro. Considere o elemento h^k. Claramente que h^k pertence a G e | h^k | = p. Assim, G tem um elemento de ordem "p".
Vemo que a hipotese de inducao vale ( por vacuidade ) para as ordem 1 e tambem para a
ordem 2. Segue - pelo que vimos acima - que vale para todas as ordens.
Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1117,240604
From: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] D�vida Date: Thu, 24 Jun 2004 10:08:22 -0300 (ART)
Meu caro Paulo, entendi sua solu��o, o prblema que esse exerc�cio encontra-se na se��o de um >livro onde ainda n�o tem esse resultado que voc� usou. Voc� n�o conhece outra forma de >resolver esse esxerc�cio.
Grato pela solu��o, �der.
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