Cara.. muuuito obrigado.. perfeito mesmo!!! entendi. :D > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de claudio.buffara > Enviada em: quinta-feira, 24 de junho de 2004 13:07 > Para: obm-l > Assunto: Re:[obm-l] Problemas com binomiais > > > Oi pessoal, > > > > Gostaria da ajuda de voces com 2 questoes que n�o consigo fazer: > > (qualquer comentario/ideia vai ajudar, eu n�o consigo sair do canto > > nessas > > questoes) > > > > http://www.suati.com.br/david/questao3.29.gif > > O primeiro eh provar que n^k/k^k <= Binom(n,k) <= n^k/k!. > > A segunda desigualdade eh mais facil: > Binom(n,k) = n*(n-1)*...*(n-k+1)/k! <= n*n*...*n/k! = n^k/k!. > > Com relacao a primeira, repare que se n = k, entao: > n^k/k^k = Binom(n,k) = 1; > > se n > k = 1, entao: > n^k/k^k = Binom(n,k) = n; > > finalmente, se n > k > 1, entao: > n/k < (n-1)/(k-1) < (n-2)/(k-2) < .... < (n-k+2)/2 < (n-k+1)/1 > > Basta provar a primeira desigualdade desta sequencia: > n > k ==> > n-1 > k-1 ==> > 1/(n-1) < 1/(k-1) ==> > 1 + 1/(n-1) < 1 + 1/(k-1) ==> > n/(n-1) < k/(k-1) ==> > n/k < (n-1)/(k-1) > > > > http://www.suati.com.br/david/questao3.32.gif > > Binom(n,0) + 2*Binom(n,1) + 2^2*Binom(n,2) + ... + 2^n*Binom(n,n) = > (1 + 2)^n = 3^n. > > Uma demonstracao combinatoria seria a seguinte: > Temos um cartao de loteria esportiva com n jogos, cada um dos > quais com 3 alternativas (vitoria de um time, vitoria do > outro ou empate). > De quantas maneiras podemos preenche-lo? > > Obviamente, a resposta eh 3^n. > > Por outro lado, poderiamos raciocinar da seguinte forma: > Para cada k (0 <= k <= n), podemos preencher o cartao com k > empates e os demais n-k jogos com vitoria de um dois dois > times. Assim, para cada k, teremos: > 1) Escolha dos jogos em que marcaremos empate: > isso pode ser feito de Binom(n,k) formas diferentes. > > 2) Em cada um dos (n-k) jogos em que marcaremos vitoria de > algum time, poderemos escolher o time de 2 maneiras. Logo, > poderemos marcar vitoria de 2^(n-k) formas diferentes. > > Somando de k = 0 ateh k = n, acharemos o numero total de > maneiras de preencher o cartao: > Binom(n,0)*2^n + Binom(n,1)*2^(n-1) + ... + Binom(n,n-1)*2^1 > + Binom(n,n)*1, ou, levando em conta que Binom(n,k) = Binom(n,n-k): > Binom(n,0)*1 + Binom(n,1)*2 + ... + Binom(n,n-1)*2^(n-1) + > Binom(n,n)*2^n. > > Mas sabemos que esse numero eh igual a 3^n. > Logo, a identidade estah provada. > > []s, > Claudio. > > >
========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
