Oi, Paulo:
Obrigado pela dica. Eu n�o imaginava que fosse existir um exemplo t�o pequeno assim! Faltou trabalhar um pouco...
Eu acho mais f�cil raciocinar com i, j e k, de modo que o grupo dos quaternios �:
Q = {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} sujeitos a i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, ikj = 1.
Como |Q| = 8, os subgrupos tem que ter ordem 1, 2, 4 ou 8.
Ordens 1 e 8 s�o triviais: {1} e Q, respectivamente, ambos normais.
Ordem 4 tamb�m � f�cil: todo subgrupo de �ndice 2 � normal.
Ordem 2: o �nico subgrupo � {1,-1}, pois se i, j ou k pertencesse ao subgrupo, ent�o -1 tamb�m pertenceria (pois -1 = i^2 = j^2 = k^2), de modo que j� ter�amos pelo menos 3 elementos no subgrupo: 1, -1 e i (ou j ou k).
Mas, se g � qualquer elemento de Q, � claro que:
g*{1,-1} = {g,-g} = {1,-1}*g ==> {1,-1} � normal em Q.
Bem legal. Aprendi algo novo.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [EMAIL PROTECTED] |
| C�pia: |
| Data: | Thu, 24 Jun 2004 17:56:29 +0000 |
| Assunto: | RE: [obm-l] Subgrupos normais |
> Oi Caro Claudio,
>
> Procure informacoes sobre o grupo dos quaternios. Aqui vai a definicao deles
> :
>
> |Qn|=2^n, Qn =, x^(2^(n-1))=e, y^2=x^(2^(n-2)) e
> y*x=[x^((2^(n-1))-1)]*b
>
> Note que, a menos de isomorfismos, estas relacoes caracterizam univocamente
> este
> grupo.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 5,1449,240604
>
> >From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Subject: [obm-l] Subgrupos normais
> >Date: Thu, 24 Jun 2004 13:48:14 -0300
> >
> >Oi, pessoal:
> >
> >Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam
> >todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel)
> >
> >[]s,
> >Claudio.
>
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