N�o consigo dizer se voce est� certo ou errado. A conclus�o est� correta
(a resposta � de fato o equil�tero), mas eu pelo menos n�o consegui enxergar
nenhuma liga��o direta entre o fato de a �rea ser A = abc/4R e o seu m�ximo
ser atingido no equil�tero.. Por que o fato de se ter A = abc / 4r implica
que A � m�xima quando a=b=c???
Segue abaixo uma solucao para o caso geral.
Dado um poligono convexo de n lados, chame de x_1, x_2, ..., x_n os angulos
centrais que enxergam como cordas os lados do poligono. A area de cada
triangulo formado por um lado e o centro da circunferencia eh
(1/2)*(R^2)sen(x_k), de modo que a �rea total �:
S = (1/2)*(R^2)*[sen(x_1)+sen(x_2)+...sen(x_n)]
Como f(x) = senx tem segunda derivada f''(x) < 0 em (0,pi) e todos os
x_i estao nesse intervalo, a desigualdade de Jensen nos d�:
[sen(x_1)+sen(x_2)+...+sen(x_n)]/n <= sen[(x_1+x_2+...+x_n)/n] =
sen(2pi/n), com igualdade sse x_1=x_2=...=x_n (e portanto o pol�gono �
regular).
Portanto, S <= (1/2)*R^2*n*sen(2pi/n), com igualdade sse o pol�gono �
regular.
Isso responde a pergunta original, que perguntava como deve ser um
pol�gono inscrito de �rea m�xima.
[]s
Marcio
----- Original Message -----
From: <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, July 02, 2004 10:26 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] �rea m�xima
>
>
> Caro, Igor
>
> Considere um triangulo de lados a , b e c , inscrito numa circunferencia
de
> raio r , a �rea desse triangulo em fun�ao de r eh dada por A=a.b.c/4r ,
logo o
> triangulo ter� �rea m�xima quando a=b=c( Equil�tero)se estou errado me
corrijam
> por favor.( Igor se vv n�o souber de onde vem est� f�rmula da �rea me
escreva
> que mandarei a desmostra�ao para vc ok! ( [EMAIL PROTECTED] )
>
> Espero ter ajudado.
>
> Cl�udio Thor
>
>
>
>
>
> Citando Igor Oliveira <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> > Gostaria de saber como fa�o pra achar o tri�ngulo de �rea m�xima
inscrito
> > numa
> > circunfer�ncia. � o eq�il�tero? E o pol�gono de n lados com �rea m�xima
e
> > inscrito
> > numa � sempre o pol�gono regular de n lados? Obrigado
> >
> > Igor
> >
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> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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