x^4 também funciona. Paulo ----- Original Message ----- From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, July 13, 2004 3:25 PM Subject: Re: [obm-l] IMO 2004 - Primeiro Dia
> A prova do primeiro dia da IMO (em inglês), está em > > http://www.teorema.mat.br/imo20041.pdf > > Paulo > <http://www.teorema> Gostei do segundo... Eu conjecturo que a resposta é f(x) = C.x^2, para qualquer constante real C. Algumas idéias: Se a = b = c = 0, temos 3f(0) = 2f(0) => f(0) = 0 Se b = c = 0, a fica livre (pois ab + bc + ac = 0 independente do valor de a). f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = f(a) + f(0) + f(-a) = f(a) + f(-a) e f(a+b+c) = f(a), logo f(a) + f(-a) = 2f(a) => f(a) = f(-a) para todo a real => f é função par. Seja u um real, note que se (a, b, c) é uma tripla satisfazendo ab + bc + ac, temos que u(a, b, c) = (ua, ub, uc) também satisfaz (ua)(ub) + (ub)(uc) + (ua)(uc) = u^2(ab + bc + ac) = 0. Sendo assim, f(u(a-b)) + f(u(b-c)) + f(u(c-a)) = 2f(u(a+b+c)) para todo u real. Podemos então encarar a igualdade acima como uma igualdade de duas funções de u, e podemos aplicar derivadas a ambos os lados já que f é de classe C^oo. Se f é um polinômio de grau 2n, a 2n-ésima derivada de f é constante (o coeficiente líder do polinômio). Veja que d^k [f(u(a-b))]/du = (a-b)^k * f^(k)(u(a-b)) -- onde f^(k)(x0) é a k-ésima derivada de f aplicada em x0. Como f^(2n)(x) = alpha (constante), devemos ter (a-b)^2n + (b-c)^2n + (c-a)^2n = 2(a+b+c)^2n. Agora vem a conjectura: parece que o lado direito cresce mais (com relação a n) que o lado esquerdo... mas isso é palpite, precisa fazer conta pra mostrar algo do tipo... [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================