On Tue, Jul 13, 2004 at 04:25:44PM -0300, allanper wrote: > Algu�m poderia me informar o que � sen hiperb�lico?
Definimos o seno e cosseno hiperb�licos por: senh t = (e^t - e^(-t))/2, cosh t = (e^t + e^(-t))/2. A partir da� definimos tanh t = (senh t)/(cosh t), coth t = 1/(tanh t), sech t = 1/(cosh t), csch t = 1/(senh t). Estas fun��es satisfazem identidades semelhantes �s que voc� deve ter estudado para as fun��es trigonom�tricas, por exemplo: cosh^2 t - senh^2 t = 1, cosh(a+b) = cosh a cosh b + senh a senh b, senh(a+b) = senh a cosh b + cosh a senh b, tanh(a+b) = (tanh a + tanh b)/(1 + tanh a tanh b). Esta �ltima f�rmula lembra muito a f�rmula usada para somar velocidades em relatividade; n�o � coincid�ncia. As fam�lias a um par�metros de matrizes (vou escrever tudo por linhas, usando colchetes para separar as linhas da matriz; � mais f�cil de escrever e todo mundo l�) R(t) = [[cos t, -sen t], [sen t, cos t]] T(t) = [[cosh t, senh t], [senh t, cosh t]] s�o uma das muitas explica��es para o interesse destas fun��es. A primeira d� rota��es por um �ngulo t; a segunda n�o tem uma interpreta��o t�o simples com a geometria euclidiana comum mas ambas s�o homomorfismos, i.e., satisfazem R(a+b) = R(a) R(b), T(a+b) = T(a) T(b). Outra forma de relacionar as fun��es trigonom�tricas usuais com as fun��es hiperb�licas � passar para os n�meros complexos. As fun��es sen e cos tem extens�es �nicas para fun��es deriv�veis de C em C; estas fun��es podem por exemplo ser obtidas a partir das s�ries de Taylor: sen z = z - z^3/3! + z^5/5! - z^7/7! + ... cos z = 1 - z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ... o que nos d� facilmente sen it = i senh t, cos it = cosh t. A parametriza��o t -> (cosh t, senh t) para o ramo direito da hip�rbole equil�tera tem a propriedade de varrer �reas iguais em tempos iguais. Outra propriedade � que, se usarmos a m�trica de Minkowsky para medir comprimentos, ela varre comprimentos iguais em tempos iguais; devemos tomar |(x,y)| = sqrt(y^2 - x^2). Outra aplica��o das fun��es hiperb�licas � para estudar geometria hiperb�lica: j� passei perto deste assunto quando falei de somar velocidades em relatividade (o espa�o dos vetores velocidade na relatividade � o espa�o hiperb�lico), quando falei das matrizes T (que podem ser interpretadas como transla��es no plano hiperb�lico) e quando falei da m�trica de Minkowsky. Existe, por exemplo, uma lei dos cossenos em geometria hiperb�lica: cosh a = cosh b cosh c - cos A senh b senh c onde a, b e c s�o os lados de um tri�ngulo e A, B e C s�o os �ngulos. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
