Oi Ana Seja bem vinda! Vou dar algumas dicas. Mostre que:
1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos magros (isto eh, de primeira categoria na classificacao de Baire) que sejam densos em X naum sao G-delta. 2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma funcao de X em R, entao o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua eh um G-delta. (1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira. Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em espacos de Baire, conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior vazio naum sao F-sigma. Isto prova o desejado porque..... Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado (pelo menos, ateh onde eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante eh considerar o conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes definidas em um espaco topologico X e que tenha valores em R (na realidade, os valores podem estar em qualquer espaco metrico). Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh W(A) = sup {|f(x1) - f(x2)| : x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o diametro do conjunto imagem f(A). Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por w(x) = inf {W(V) : V pertence a U}, sendo U a colecao de todas as vizinhancas de x. (Na realidade, podemos nos restringir a vizinhancas basicas, como bolas abertas se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos restringir aa colecao enumeravel das bolas abertas de centro em x e raiod 1/n, n natural.). Um fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e eh instrutiva, eh que f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0. De posse destes conceitos, mostre entao que: (2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x) < r} eh aberto em X. Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua. Considere a colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}. Uma certa operacao realizada nesta colecao dah um resultado que tem a cara de C (2b). Temos entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou. Certamente hah outras formas de se provar a proposicao. Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire Data: 15/07/04 17:33 Oi pessoal da lista, um abraço, para todos, acabei de me inscrever! Eu gostaria de algumas dicas para a seguinte demonstração: Sejam X um espaco de Baire e D um subconjunto de X que seja denso em X e de primeira categoria (isto é, D está contido na união de uma colecao enumerável de conjuntos fechados que tenham interior vazio). Não existe, então, nenhuma funcão de X em R (os reais) que seja contínua exatamente em D (isto é, contínua em todo elemento de D e descontínua em todo elemento não pertencente a D). Eu estou me confundindo nesta demonstração. Obrigada. Ana __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================