Para simplificar a notacao, vamos primeiro considerar o caso n=1. As diferenciabilidade de f implica a existencia de suas m derivadas parciais em todo o R^m. Tomemos a variavel x1 e, tambem para simplificar a notacao, denominemos de f' a derivada parcial de f com relacao a x1. A regra da cadeia, caso unidimensional, nos diz que sendo g(x) = f(t*x), entao g'(x) = t*f'(t*x) = t*f'(x), equacao valida para todo rela t e todo x de R^m. Logo, temos necessariamente que f'(t*x) = f'(x) para todo real t e todo x de R^m. Agora, vou assumir que f seja de classe C^1, isto eh, que tenha derivadas parciais continuas (sem esta hipotese, eu naum estou certo se dah para provar a proposicao). Feita esta hipotese, a continuidade de f' na origem implica que f'(x) = f(0), isto eh, f' eh constante. Desta ultima conclusao, segue-se que f(x) =a1*x1 + h1(x2,...xm), sendo a1 uma constante real e h1 uma funcao que depende de x2,....xm mas naum de x1. De modo inteiramente analogo, chegamos a expressoes similares para as outra variaveis x2,....xm. Temos entao, para todo x de R^m, que f(x) =a1*x1 + h1(x2,...xm) . . f(x) = a_i x_i + h_i(x1...x_i_1, x_i+1,....x_m) . . f(x) = a_n x_n + h_n(x1.....x_m-1)
Para que isto seja possivel, temos necessariamente que f(x) = a1*x1...+ a_m *xm + C, sendo C uma constante real. Logo, f(0) =C. Mas, de f(t*x) = f(x), segue-se que, se t=2, entao f(0) = f(2*0) = 2*f(0) = 2*C = C => C=0. Assim, f(x) = f(x) = a1*x1...+ a_m *xm, que eh uma transformacao linear. No caso geral, temos que f(x) = (f1(x), ...fm(x)), onde f1,...fm sao as funcoes coordenada de f. Se f satisfaz a f(t*x) = t* f(x), entao relacoes similares valem para cada uma das funcoes coordenadas. Do que jah vimos, concluimos entao que f(x) = T [x1...xm], sendo T uma matriz constante n x m n. Exatamente uma transformacao linear. Artur PS. Acho que, para que a conclusao seja valida, basta assumir que as derivadas parcias sejam continuas em x=0. --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Análise no R^n. Data: 16/07/04 08:49 Gostaria de uma ajuda para o problema abaixo: Seja f: R^m --> R^n uma função diferenciável em todo R^m e tal que f(tx) = tf(x), p/ todo x em R^m e todo t em R. Prove que f é uma transformaçãao linear. Grato, Éder. Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis! ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================