Bom, agora interpretando corretamente (e naum da forma esdruxula em que fiz antes....) Temos, para todo x em U, que g(x) = |f(x)| = f1(x)^2....+ fn(x)^2 = k, k constante, e as fi sendo as funcoes coordenadas de f,definidas em U e com valores em R. A diferenciabilidade de f implica que cada uma das fi seja diferenciavel em U, existindo assim as sua respectivas derivadas parciais. Dferenciando-se g com relacao a x1, obtemos g'1(x) = 2*(f1(x)f'11(x) +....fn(x)f'n1(x) = 0, onde f'i1 eh a derivada parcial de fi com relacao a x1 e g'1 eh a derivada parcial de g com relacao a x1. Logo,f1(x)f'11(x) +....fn(x)f'n1(x = 0. Em forma matricial, temos que (f1(x), ...fn(x).(f'1(x)...,f'1n(x)) = 0, onde . significa produto escalar. Eh imediato que relacoes similares valem para i=2,3...m, de modo que chegamos aa conclusao de que J (f1(x), ...fn(x)) = 0, sendo J a matriz Jacobiana. Podemos interpretar J como uma matriz na qual a coluna j eh o gradiente de fj e (f1(x), ...fn(x) eh um vetor coluna com as componentes de f. Se f(x) <>0, entao este ultimo vetor coluna naum tem todas suas componentes nulas. Para que o produto de J por este vetor seja nulo, temos entao necessariamente que J eh singular, logo det J =0. Concluimos assim que, se f naum se anular em U, entao a proposicao eh verdadeira. Se f se anular em algum u de U, entao |f(u| =0. Por hipotese, temos entao que |f| eh identicamente nula em U, o que implica automaticamente que f tambem seja ident. nula em U. Neste acso, sua matriz Jacobiana eh identicamente nula e identicamente nulo eh seu determinante, valendo assim a prposicao. Acho que agora estak OK. Artur
> > > --------- Mensagem Original -------- > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] análise > Data: 04/08/04 09:09 > > > Gostaria de uma ajuda no prob. abaixo: > > Seja f:U --> R^n dif. no aberto U de R^m. Se |f(x)| é constante quando x > varia em U, então o determinante jacobiano de f identicamente nulo. > > Grato, Éder. > > > Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! > > ________________________________________________ > OPEN Internet > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
