Eu sou fan de uma demonstracao naum muito difundida e que se baseia nas propriedades da funcao exponencial. Sejam x_1....x_n numeros reais positivos e sejam A e G as suas respectivas medias aritmetica e geometrica. Para cada i=1....n, seja r_i o desvio relativo de x_i com relacao a A, isto eh, r_i = (x_i - A)/A = x_i/A -1 (faz sentido, pois A>0). Entao, Soma (i=1,n) r_i = 0 (1). Pelas propriedades da funcao exponencial, para todo real x temos e^x >= 1+x, havendo igualdade sse x =0. Logo, para cada i=1...n temos e^r_i >= 1+ r_i => e^r_i >= x_i/A, com igualdade sse r_i= 0 <=> x_i = A. Multiplicando-se membro a membro as n desigualdades obtidas e observando (1), temos pelas propriedades da funcao exponencial que e^(Soma (i=1,n) r_i) = e^0 = 1 >= Produto (i=1,n) (x_i/A) = (Produto (i=1,n) (x_i))/A^n) = (G^n)/(A^n) = (G/A)^n, ocorrendo igualdade sse x_1 =.....x_n = A. Logo 1 >= (G/A)^n, o que implica que A>=G. Conforme vimos, hah igualdade sse os x_i forem todos iguais. A desigualdade envolvendo a media harmonica eh consequencia direta do que mostramos, conforme o Prof. Morgado já comentou na sua sua mensagem. Artur
--------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Desigualdade de Médias Data: 03/09/04 00:02 Olá pessoal. Ultimamente eu me deparei com uma questão de média aritmética x geométrica e fiquei curioso pra saber a generalização da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200007/msg00188.html Entendi o modo como foi feito para quantidade de números potencias de 2, mas não compreendi os passos utilizados na indução. Alguém poderia detalhar melhor os passos da demonstração e/ou mandar outras demonstrações dessa generalização? Um abraço, Douglas ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================