positiva quer dizer que para todo vetor x != 0, temos x* T x > 0?
seja v um auto-vetor de T, se Tv = dv, então <Tv, Tv> = <dv, dv> = d2 <v, v> = d2 ||v||^2 mas <Tv, Tv> = (Tv)*(Tv) = v*T*Tv = v* I v = ||v||^2 d2 = 1 como ela é positiva, d = 1.
tr(T) = traço(T) = soma dos auto-valores (contando multiplicidades), logo
tr(T) = n
Mas cada entrada da matriz T tem valor absoluto não superior a 1, pois T é unitária. Logo tr(T) <= n, com igualdade se e somente se cada elemento da diagonal é 1. Isso mostra que T = I.
[ ]'s
Pessoal,
Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui....
Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V,
and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I.
Obrigado.
[]s Daniel S. Braz
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
