Sejam u1 e u2 vetores nao nulos e linearmente independentes de R^n (nao proporcionais). Definamos A = {x em R^n : x = u1 + t*u2, t em R}. Entao, A nao contem 0 e nao hah dois elementos distintos de A que sejam proporcionais (pois n>1). Para todo x de A, |x|>0 (definicao de norma) e, portanto, podemos definir y = x/|x|, tendo-se |y| =1 qualquer que seja a definicao da norma || (novamente, decorrencia da definicao de norma). Se x1 e x2 sao elementos distintos de A, entao y1 e y2 sao distintos, pois, do contrario, seriam proporcionais, contrariamente aa definicao de A. Existe assim uma bijecao entre A e um subconjunto da esfera unitaria. Como A eh infinito (A nem mesmo eh enumeravel, pois eh homorfo a R), concluimos que a esfera unitaria contem um subconjunto infinito, sendo ela propria infinita (e naum enumeravel). Artur
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