Bom, eu acho que você entendeu o suficiente de limite para ter a idéia certa, mas apenas faltou "traduzir" o desenho em epsilons e deltas.
Uma idéia é a seguinte: você quer provar que lim y->b g(y) = L, então basta calcular a diferença g(y) - L e ver se ela vai dar pequena o suficiente para y suficientemente próximo de b. Com isto, prova-se a existência e o valor do limite. Vamos achar delta para que | g(y) - L | < eps quando | y - b | < delta A idéia para provar isso será de fazer primeiro g(y) bem proximo de f(x,y), e depois aproximar g(y) de L pela desigualdade triangular, pois f(x,y) estará (se tudo der certo) perto de L. Esta tática é muito usada para resolver este tipo de problemas de limites e coisas parecidas. Tome, então, delta "1" (vou usar d1) para que | f(x,y) - L | < eps/2 para | (x,y) - (a,b) | < d1 Tome, em seguida, d2 tal que | f(x,y) - g(y) | < eps/2 para | x - a | < d2 (esta é a existência do segundo limite) Fazendo g(y) - L = g(y) - f(x,y) + f(x,y) - L e separando os termos, temos, pela desigualdade triangular, | g(y) - L | <= | g(y) - f(x,y) | + | f(x,y) - L | < eps/2 + eps/2 = eps, sempre que 1- |x-a| < d2 2- |(x,y) - (a,b)| < d1 Ora, as duas ocorrem quando |y-b| < (d1)/2 e |x-a| < min{d2, (d1)/2}, e portanto podemos escolher delta igual a (d1)/2 que teremos garantido que podemos escrever as duas desigualdades < eps/2 (o passo fundamental) E isso. Qualquer coisa, pergunte Bernardo Costa On Sun, 19 Sep 2004 14:10:58 -0300, Eric <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ola > > Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o > seguinte resultado sobre limites iterados: > > Se lim f(x,y) = L quando (x,y) -> (a,b) e se > existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x -> a > e h(x) = lim f(x,y) quando y -> b entao > lim ( lim f(x,y)) = L > y->b x->a > > Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro > de Calculo de Tom Apostol, volume 2. > > Deve ser facil, mas tentei fazer de varios > modos e cada prova que conseguia > tinha algum erro que a invalidava. > > Ninguem da turma fez e a professora falou > que realmente nao tinhamos entendido limites. > > ----- > Uma ideia que tive foi: > > Como existe o limite bidimensional entao, > por definicao, para todo eps>0, existe d>0 > tal que > > [1] ----- 0<||(x,y)-(a,b)||<d implica em > [2] ----- |f(x,y)-L|<eps. > > Suponha que vale [1] entao 'Claramente' > lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo > x->a > [L - eps, L + eps] > sempre que 0<|y-b|<d > Nao sei provar isto, principalmente a parte do > 'sempre que', alguma dica? Fazendo > uma figura fica mais ou menos evidente, ateh > porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo > ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y) > deve estar no intervalo [L-eps,L+eps] > > Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps] > sempre que 0<|y-b|<d eh afirmar que > 0<|y-b|<d acarreta |g(y)-L|<eps, > que significa que > lim g(y) = L > y->b > > isto eh > > lim ( lim f(x,y)) = L > y->b x->a > > que eh o que quero mostrar. > > ----------- > Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso > encontrar essa demonstracao na WWW. > > [ ]'s > > Eric > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================