On Tue, Sep 21, 2004 at 08:32:14PM +0000, Edward Elric wrote:
> (IME 80/81)
> Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o 
> ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo 
> numero natural n, h^n e diferente de 1.
> Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz.
> 
> (IME 80/81)
> Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, 
> onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer.

Eu fiz esta prova como aluno. A segunda já responderam. Vou fazer a primeira.

Temos z = (2-i)^2/5 = (3+4i)/5. Escreva z^n = (a_n + b_n i)/5^n. Assim
a_1 = 3, b_1 = 4, a_{n+1} = 3 a_n - 4 b_n, b_{n+1} = 4 a_n + 3 b_n.
Por indução, é fácil provar que a_n = 3 (mod 5) e b_n = 4 (mod 5)
para todo n. De fato, para n = 1 é trivial e se isto valer para n temos
a_{n+1} = 3*3 - 4*4 = 3 (mod 5), b_{n+1} = 4*3 + 3*4 = 4 (mod 5).
Assim a parte imaginária de z^n não é igual a 0 para nenhum inteiro
positivo n.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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