Eu achei uma solucao que usou sucessivamente o teorema do valor medio. No entanto, uma dica que talvez seja util eh a seguinte: se as duas cordas se bisectam, entao elas sao diagonais de um paralelogramo... pensando melhor, no fim voce vai precisar do t.v.m de qualquer jeito.
[]s, Claudio. on 08.10.04 17:45, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Fazendo uma analise rapida, de bate pronto. > O fato de f'' nao se anular em R implica que f'' eh estritamente positiva ou > estritamente negativa em R. > Se f'' for estritamente positiva, f eh convexa. Alem disto, f' eh > estritamente crescente em R, de modo que f nao eh constante. Se houver dois > intervalos fechados [a,b] e [c,d] tais que os segmentos de retas definidos > pelos pares (a,f(a)) e (b, f(b)) e (c,f(c)) e (d,f(d)) se bisectem, entao os > intervalos sao encaixados e tem o mesmo ponto medio m =(a+b)/2 = (c+d)/2. > Mas entao a convexidade de f e o fato de f nao ser constante acarretam que > o segmento de reta correspondente ao intervalo externo esteja sempre acima > do correspondente ao intervalo interno, contrariando a hipotese de que eles > se bisectem. > Se f'' for estritamente negativa, entao f eh concava e nao constante, > cabendo argumentos similares. > Artur > > > --------- Mensagem Original -------- > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao > Data: 07/10/04 19:26 > > A funcao f: R -> R eh duas vezes diferenciavel e f''(x) <> 0 para todo x > real. Prove que duas cordas quaisquer no grafico de f nao se bisectam. > (uma corda eh um segmento de reta que une dois pontos distintos do grafico > de f). > > []s, > Claudio. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================