Essa foi uma questao da 3a. fase da obm nivel 3 de 2003.
A resposta eh 17.
Primeiro, verifique que (-2)^2 + 5*(-2) + 23 = 17.
Em seguida, lembre-se de que se p(x) nao eh divisivel por n para n valores
inteiros consecutivos de x, entao p(x) nao eh divisivel por n para nenhum
inteiro x.
O maior primo menor do que 17 eh 13. Assim, tome 13 valores inteiros
consecutivos de x e verifique se, para algum deles, p(x) eh divisivel por
algum primo <= 13. Voce vai ver que a resposta eh nao.

[]s,
Claudio.

on 08.10.04 17:29, Osvaldo Mello Sponquiado at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> 
>> Prove que x^2 + 5x + 23 eh sempre impar, qualquer que
> seja x inteiro.
> 
> Bom acho que enviei um mail para a lista, mas não
> chegou, aff.
> 
> Minha tentativa para encontrar o menor primo que
> dividia x^2 + 5x + 23, para algum x natural foi
> fazer x^2 + 5x + 23=(x+a).(x+a)+1.(x+a)+b; a arbitrario
> natural e b=b(a).
> Adotando a=2 vem b=23-2^2-2=17
> Assim ficamos com x^2 + 5x + 23=(x+2)[(x+2)+1]+17=
> (x+2)(x+3)+17
> 
> A parcela (x+2)(x+3) é o produto de dois termos
> consecutivos logo é um número par.
> A segunda parcela é um número ímpar, logo a soma é um
> número impar.
> Assim queremos encontrar o menor p, ímpar, tal que p |
> (x+2)(x+3)+17
> 
> Usando congruencia fiz
> Possibilidade 1) (x+2) cong. 17 mod (p)
> e (x+3) cong. 1 mod (p)
> Possibilidade 2) (x+3) cong. 17 mod (p)
> e (x+2) cong. 1 mod (p)
> 
> Do caso 1 tiramos:
> x cong. 15 mod (p) e x cong. -2 mod (p)
> dai x=kp+15=lp-2=> p=17/(l-k); l e k naturais
> Como p é primo por hipótese e 17 é primo entaum l deve
> ser necessariamente k+1 e logo p=17
> Do 2, tiramos:
> x cong. 14 mod (p) e x cong. -1 mod (p)
> x=ap+14=bp-1=>p=15/(b-a)
> Como os divisores positivos de 15 são 1,3,5,15, então
> as possibilidades para p são p=3 e p=5 pois p é primo.
> 
> x^2 + 5x + 23=3.7+(x^2+5x+2)=3.6+(x^2+5x+5)
> Se fizermos 3.k; k<=5 mna equação acima teremos raízes
> complexas na eq. do segundo grau correspondente por
> exemplo se k=4 fica x^2 + 5x + 23=3.4+(x^2+5x+11), onde
> x^2+5x+11 possui raizes complexas, logo nao se analisa
> estes.
> 
> Para k=5 ou k=6 temos que expressao  x^2 + 5x + 23=3k+f
> (x); onde f(x) é a expressao do segundo grau
> correspondente nunca é múltipla de três.
> Procedendo com o mesmo argumento encontramos que x^2 +
> 5x + 23 não é múltiplo de cinco.
> 
> Será que desta forma estaria correto ?
> Ateh mais.
> 
> 
> Atenciosamente,
> 
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Engenharia Elétrica, 2ºano
> UNESP - Ilha Solteira
> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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