Ok, Cl�udio. Obrigado, Dem�trio
--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 13.10.04 20:19, Demetrio Freitas at > [EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > Ola, > > > > Gostaria de provar uma congruencia. > > > > Dado F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n -50 > > Prove que F(n) = 0 (mod 120), se n for primo > 7. > > (Onde = denota conguente) > > > > Por exemplo: > > F(11) = -69240 = -120 * 577 > > F(19) = 170760 = 120 * 1423 > > F(97) = 6853927800 = 120 * 57116065 > > F(563) = 54562015773960 = 120 * 454683464783 > > > > Porem: > > F(15) = -101240 -> nao divisivel por 120 > > F(129) = 30271636600 -> nao divisivel por 120 > > F(597) = 73303331579800 -> nao divisivel por 120 > > > > > > Qual caminho usar? > > > > Obrigado, > > > > Demetrio > > > > OBS: > > Naturalmente a condi��o eh "se n primo" e n�o "sse > (se > > e somente se)", pois ha muitos n compostos onde > F(n) > > = 0 (mod 120) > > > > > A primeira coisa eh decompor 120 em fatores primos: > 120 = 2^3*3*5. > > Agora, basta provar que F(n) == 0 mod 3, 5 e 8 para > n primo > 7. > > Para cada um dos 3 modulos, a ideia eh reduzir F(n) > usando propriedades das > congruencias e o pequeno teorema de Fermat. > > Mod 3: > F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==> > F(n) == n + n^2 + n + n^2 + n + 1 ==> > F(n) == 2*n^2 + 1 > > Se n for multiplo de 3, entao F(n) == 1 (mod 3). > No entanto, todos os primos > 7 sao impares e nao > multiplos de 3, de forma > que os seus quadrados sao todos == 1 (mod 3). > Logo, para n primo > 7, 2*n^2 + 1 == 2*1 + 1 == 0 > (mod 3) > > *** > > Mod 5: > F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==> > F(n) = n - 0 + 0 + 0 - n + 0 ==> > F(n) == 0 > > Ou seja, F(n) eh multiplo de 5 para qualquer inteiro > n. > > *** > > Mod 8: > F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==> > F(n) == n^5 + 4*n^4 + 0 - 2*n^2 - n - 2 ==> > F(n) == n*n^4 + 4*n^4 - 2*n^2 - n - 2 > > O quadrado de cada impar eh == 1 (mod 8). Assim, > para n impar, teremos: > F(n) == n*1 + 4*1 - 2*1 - n - 2 == 0 (mod 8). > > Ou seja, para n impar e nao multiplo de 3, F(n) == 0 > (mod 3*5*8). > Em particular, para cada primo n > 7, F(n) eh > divisivel por n. > > Repare que, no seu exemplo acima, 15, 129 e 597 sao > todos multiplos de 3. > > []s, > Claudio. > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
