1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0
(z+1)^5 + z^5 = 0 -> (z+1)^5 = -z^5 -> ((z+1)^5)/z^5 = -1 -> (z+1)/z= (-1)^1/5
Como -1 = cis(pi), temos (-1)^1/5= cis((pi + 2*k*pi)/5), com k=0,1,2,3,4
Assim z(1 - cis((pi + 2*k*pi)/5))=-1 -> z= 1/ (cis((pi + 2*k*pi)/5) - 1)
Lembrando que cis(x)-1= 2*i*sen(x/2)*cis(x/2) temos:
z=1/ 2*i*sen(pi + 2*k*pi)/10)*cis(pi + 2*k*pi)/10) =
(cos((pi + 2*k*pi)/10) - i*sen((pi + 2*k*pi)/10)))/2*i*sen(pi + 2*k*pi)/10)=
-(1 + i*cot((pi + 2*k*p)/10))/2
Assim temos que a parte real de z é igual a -1/2, e as 5 soluçoes do imaginario de z pertence a essa reta.
From: Felipe Torres <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problemas com números complexos Date: Sat, 16 Oct 2004 12:33:18 -0700 (PDT)
Oi pessoal, parece q to precisando de um reforço em números complexos.. se alguém souber como se resolve estes problemas a seguir, ou souber indicar uma bibliografia online, agradeço desde já.
1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo imaginário. [nesse aqui eu cheguei a fazer z= -1/2 +bi. depois eu fiz (1/2 + bi)^5 = (1/2 - bi)^5 com isso eu já poderia dizer q obrigatoriamente todas as soluções estarão na abcissa -1/2?]
2)Dado z= 1/ sqrt( -7 + 24i), calcule as partes real e imaginária de z.
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