claudio.buffara wrote:
Quanto vale raiz(1+raiz(2+raiz(3+raiz(4+raiz(5+.... se � que isso converge?
Converge sim. Considere a s�rie abaixo:
S(1)=sqrt(1)
S(2)=sqrt(1+sqrt(2))
S(3)=sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3)))
... e assim por diante. Vou mostrar que essa s�rie
� crescente e limitada superiormente, e portanto converge pra
algum canto.
Pra isso vou usar uma s�rie aux�liar A(i,j):
j>i => A(i,j)=0
j=i => A(i,j)=sqrt(i)
j<i => A(i,j)=sqrt(j+A(i,j+1))
Desse jeito, A(i,1)=S(i). Vou mostrar agora que
A(i,j)<A(i+1,j) quando j<=i, por indu��o em j. A base
de indu��o � para j=i. Suponha que A(i,i)>=A(i+1,i). Ent�o:
A(i,i)=sqrt(i)
A(i+1,i+1)=sqrt(i+1)
A(i+1,i)=sqrt(i+sqrt(i+1))
sqrt(i)>=sqrt(i+sqrt(i+1))
Todos os termos s�o positivos, ent�o:
i>i+sqrt(i+1)
0>=sqrt(i+1)
...que � falso pra qualquer i. Base de indu��o
provada, agora o caso gen�rico. Supondo que A(i,n+1)<A(i+1,n+1),
vamos tentar mostrar que A(i,n)<A(i+1,n). Suponha essa
�ltima falsa, ent�o ter�amos:
A(i,n)>=A(i+1,n)
sqrt(n+A(i,n+1))>=sqrt(n+1+A(i+1,n+1))
n+A(i,n+1)>=n+1+A(i+1,n+1)
A(i,n+1)>=1+A(i+1,n+1)
...que tamb�m � falsa pela hip�tese de indu��o.
Ent�o est� fechada a demonstra��o que A(i,j)<A(i+1,j)
quando j<i. Em especial, quando j=1, ent�o A(i,1)<A(i+1,1),
portanto S(i)<S(i+1) e a s�rie � crescente.
Agora vou mostrar que A(i,j)<=j+1, por indu��o em j.
A base � pra j=i:
A(i,i)<=i+1
sqrt(i)<=i+1
i <= (i+1)^2
i <= i^2 + 2i + 1
0 <= i^2 + i + 1
Essa par�bola est� sempre acima do eixo, ent�o a
proposi��o vale pra qualquer i positivo. Agora a indu��o,
suponha A(i,n+1)<=n+2, vamos ver A(i,n):
A(i,n)=sqrt(n+A(i,n+1))
A(i,n)^2=n+A(i,n+1)
A(i,n+1)=A(i,n)^2-n <= n+2
A(i,n)^2 <= 2n+2
A(i,n) <= sqrt(2n+2)
Basta mostrar agora que sqrt(2n+2)<=n+1:
sqrt(2n+2)<=n+1
2n+2<=(n+1)^2
2n+2<=n^2+2n+1
0<=n^2-1
Ou seja, a afirma��o � verdadeira pra todo n>=1,
o que completa a indu��o. Por fim, se vale que A(i,j)<=j+1
para todo j>=1, ent�o, em especial, pra j=1 temos
A(i,1)<=2, e da� segue que S(i)<=2 pra todo i, e portanto
a s�rie � limitada superiormente. Como ela � limitada e
crescente, ent�o � convergente.
De curiosidade, eu calculei numericamente, o valor
da coisa toda � aproximadamente 1.757933. Mas eu n�o sei
explicitar o valor, ali�s nem sei se � alg�brico.
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Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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