J� identifiquei o meu erro ! N�o precisam responder. Foi na passagem 'I-II' pois -II modifica o sentido da desigualdade :-(
[]'s Osvaldo > � verdade!, por algum motivo eu interpretei > '-8xyz' como '+8xyz'. > > Tentei fazer novamente. S� que errei em algum lugar. Algu�m pode me ajudar ? > > > Voltando ao problema: > > [x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2-8xyz+1>=0 > > Temos que: > > (xy-z)^2=(xy)^2+z^2-2xyz > (xz-y)^2=(xz)^2+y^2-2xyz > (yz-x)^2=(yz)^2+x^2-2xyz > > Somando as tr�s eq., vem: > > (xy-z)^2+(xz-y)^2+(yz-x)^2=[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]-6xyz>=0 > > Fazendo k=[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2], temos: > > Tese: k+(xyz)^2-8xyz+1>=0 (I) > e sabemos que k-6xyz>=0 (II) > > Vamos supor que a tese seja verdadeira, logo: > > I-II:(xyz)^2-2(xyz)+1>=0 (III) > Fazendo u = xyz, vem: > > u^2-2u+1>=0 => delta=4-4=0, portanto a curva descrita toca o eixo u em um �nico > ponto (ponto em que ocorre a igualdade da inequa��o), ou seja, para u=2/2=1, ou > seja, xyz=1. Para todos os outros u temos que (III) � verificada, logo a hip�tese > admitida de que (I) � verdadeira � verdade. > > Assim conclu�mos que a igualdade ocorre quando xyz=1. > Fazendo um teste ja vejo que n�o � bem assim. > > x=1/2 > y=2 > z=1 > (xyz=1) > temos que > 1/4+4+1+1/4+4+1+1-8=0 (F) > > logo est� errado. > > Eu creio que a igualdade seja v�lida apenas quando x=y=z=1, mas n�o consegui provar. > > > Al�m disso, algu�m consegue calcular as ra�zes do polinomio > P(x)=3x^2-8x^3+3x^4+x^6+1. As ra�zes neste caso seriam uma condi��o para igualdade > do problema quando x=y=z. > > []'s > Osvaldo > > > > > > Dados x,y,z numeros positivos, prove que: > > > > > > > > ((xyz)^(-1))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz >= 8 > > > > > >Colocando xyz>0 em evid�ncia nas parcelas dos dois membros, temos: > > > > > >1+[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2>8xyz<=> > > >[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2-8xyz>-1 > > > > > > > > >O primeiro membro � totalmente positivo, logo � mair do que -1. > > > > > >Atenciosamente, > > > > > >Osvaldo Mello Sponquiado > > >Engenharia El�trica, 2�ano > > >UNESP - Ilha Solteira > > > > > > > > o primeiro membro nao eh totalmente positivo ... basta jogar x=y=z=1 onde a > > igualdade da inequa��o se verifica ! > > []` > > Daniel Regufe > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > > http://messenger.msn.com.br > > > > ========================================================================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > Atenciosamente, > > Osvaldo Mello Sponquiado > Engenharia El�trica, 2�ano > UNESP - Ilha Solteira > > > __________________________________________________________________________ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - � gr�tis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia El�trica, 2�ano UNESP - Ilha Solteira __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - � gr�tis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
