Com relacao ao segundo, eh facil mostrar (inducao finita, Lagrange) que, para um dado inteiro r>=1, o produto eh maximo quando x_1 = ...x_r = A/r. Neste caso, o produto maximo eh p(r) = A(/r)^r. Consideremos a funcao p definida em (0, oo) por p(x) = (A/x)^x. Diferenciando e fazendo algumas simplificacoes chegamos a que p'(x) = (A/x)*[Ln(A/x) - 1]. Entao, constamos que p eh crescente em (0, A/e) e decrescente m (A/e, oo),tendo portanto um maximo global em x_m = A/e. Mas como o r ideal, r_m, procurado tem que ser inteiro, teremos, dependendo de A, que r_m = piso(A/e) ou piso(A/e)) +1, sendo piso(A/e) o maior inteiro <= A/e. Um problema que parece interessante � achar at� que valor de A temos r_m = piso(A/e), passando-se entao a r_m = piso(A/e)+1. Parece que este valor existe e estah em torno de 10, mas observei isto empiricamente fazendo uns rapidos calculos Artur.
--------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] problemas envolvendo e Data: 22/10/04 19:30 Esse problema de determinar se e^pi eh maior ou menor do que pi^e me fez lembrar de alguns outros que ateh jah apareceram na lista ha tempos, mas como recordar eh viver, aqui vao: 1) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y > y^x. 2) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas: x_1 + x_2 + ... + x_r = A de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel. (ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras) 3) Considere a sequencia (a(n)) definida por: a(1) = x > 0 a(n+1) = x^a(n) para n >= 1. Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet e Inform�tica @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
