Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d = n. Suponhamos que n tenha m divisorese seja P o produto destes divisores. Se m for par, podemos entao expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo d*(n/d) = n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n tem um divisor d* tal que n/d* = d* (ou n teria necessariamente um numero par de divisores). Entao, n eh quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao expressar P como um produto de (m-1)/2 fatores do tipo d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso, P = n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos entao que G = P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 = n.
Se d_1, ..d_m sao os divisores de n, entao n eh o mmc destes divisores. Da definicao de media harmonica, temos que que m/H = 1/d_1 +...1/d_m = [n/d_1....+n/d_m]/n. No numerador temos a soma dos m divisores de n, de modo quem m/H = (m*A)/n, o que nos leva a que A*H = n = G^2, completando a prova. Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Medias e Divisores Data: 28/10/04 12:24 E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares da lista: Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores positivos do inteiro positivo n. Prove que A*H = G^2 = n. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
