On Fri, Nov 05, 2004 at 08:53:41PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Dando aula numa turma de 2� ano do Ensino M�dio, um grupo de alunos me fez a > seguinte pergunta: > > Qual o valor da soma 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + ...? > > Confesso que tentei resolver e n�o consegui. > > Ser� que algum de voc�s poderia me ajudar?
A melhor resposta � a que j� deram: a s�rie diverge. Mas n�o precisamos nos render t�o facilmente... Fa�a f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ... N�o � muito dif�cil verificar que quer formalmente quer quando isto faz sentido, f(x) = (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...)^2. Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... � a soma de uma PG e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em algum sentido, f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4. Outra forma de chegar a um limite � a de C�saro, que consiste em tomar m�dias. Vamos primeiro calcular a soma at� cada ponto: 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... Fazendo a m�dia at� cada ponto, temos 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, 0, ... Fazendo m�dias de novo, temos 1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 17/45, 298/735, 149/420, ... e podemos sem muita dificuldade mostrar que isto tamb�m tende para 1/4. Ou seja, com alguns dos crit�rios mais naturais para somar s�ries divergentes, a resposta � 1/4. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
