Eu fiz assim
Montadas as equa��es
a(b+c+d+e+f)= 264
b(a+c+d+e+f)= 325
c(a+b+d+e+f)= 549
d(a+b+c+e+f)= 825
e(a+b+c+d+f)= 901
f(a+b+c+d+e)= 1000
Primeiro perceber que 901 � igual a 17 X 53 e esses dois s�o primos ou seja...
e(a+b+c+d+f)= 901
ou a letra ( e ) � igual a 17 e o trambolho (a+b+c+d+f) a 53 ou vice versa...
bem com isso vou tentar descobrir quem � a letra ( f )...
vou pegar essa equa��o f(a+b+c+d+e)= 1000
da quela outra eu sei que (supondo ( e ) = 17)
e(a+b+c+d+f)= 901 = 17 x 53 ent�o => (a+b+c+d+f) = 53 ou seja:
(a+b+c+d) = 53 � f
Vou usar isso na outra f(a+b+c+d+e)= 1000 = f(53 �f +e)= 1000, mas nessa suposi��o o ( e ) � igual a 17 ent�o f(53 � f +17) = 1000.
Pronto mas agora voc� j� pode perceber que se voc� invertese quem era 17 e 53 voc� chegaria na mesma express�o! Seria bem assim f(17 � f + 53) = 1000 que � a mesma coisa... resultado interesante...
Voc� vai tentar com as outras incognitas e vai achar equa��es do 2 grau para todas. Bem... a um fato interesante... quando voc� calcular as ra�zes de ( f ) voc� vai achar 50 e 20.
e(a+b+c+d+f)= 901
olha bem essa... se o ( e ) fosse 53, (a+b+c+d+f) tem que ser igual a 17; mas se o f so pode ser 20 ou 50, nunca (a+b+c+d+f) daria igual a 17. (nota: ao resolver todas equa��es do segundo grau todas as poss�veis ra�zes s�o positivas, s� para voc� n�o pensar que as ra�zes poderiam ser negativas porque no inicio eles dizem inteiro).
Voc� j� sabe que a incognita ( e ) � 17. Mas as outras incognitas todas com exce��o da letra ( f ) tem um valor que passa de 53 como raiz... ou seja cada raiz menos a ( f ) perde uma de suas ra�zes... Voc� sabe todas ra�zes menos a ( f ). Mas achar a ( f ) � f�cil, (a+b+c+d+f) = 53 mas a+b+c+d = 33 ou seja ( f ) s� pode ser 20.
O resultado que ele quer � a soma de todas as ra�zes (a+b+c+d+e+f) = (33+e+20) = (33+17+20) = 70.
Resposta letra D
Legal sua resolu��o Cl�udio, Obrigado.
Algu�m por favor, me ajude nas d�vidas de limites.
Atenciosamente
Andr� Sento S� Barreto
Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
on 08.11.04 03:45, Andr� Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seis n�meros inteiros s�o tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 n�meros vale?
a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86
Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f.
Seja S = a + b + c + d + e + f.
Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000.
Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos:
S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864.
De cara, concluimos que S^2 > 3864 ==>
S > 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c).
Suponhamos que S = 86.
Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 ==>
f^2 - 86*f + 1000 = 0 ==>
delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 <> quadrado perfeito ==>.
S soh pode ser igual a 70 ==> alternativa (d).
Testando:
f*(70 - f) = 1000 ==> f = 20 ou f = 50
e*(70 - e) = 901 ==> e = 17 ou e = 53
d*(70 - d) = 825 ==> d = 15 ou d = 55
c*(70 - c) = 54! 9 ==> c = 9 ou c = 61
b*(70 - b) = 325 ==> b = 5 ou b = 65
a*(70 - a) = 264 ==> a = 4 ou a = 66
Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20.
Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria?
[]s,
Claudio.
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